2014年1月31日

ロンスキー行列式

ロンスキアン

コリオリ弾道計算記事内において、コリオリ弾道弾計算の時に出てきた式、

 

ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立

 

これを定係数2階非同次微分方程式といって、この式を解く際に使われていた解法には微分演算子法と呼ばれる計算法を使用して解を導き出しています。

zero_fighter

問題の式は2階微分が入っており変数以外の定係数が含まれ大体次のように表されます。

ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立

問題の式は一階微分がないので、

ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立

のような形になります。 前回の記事の中において、この微分方程式の特解の求め方には微分演算子法以外にも“ロンスキー行列式”による解法もあると書きましたが実は言い出したあの時点ではホントの事言うと実際にはやっていませんでした。
まあ理屈としては同じはずなのですが実際やってみないとどうにも不安なので今回細かくやってみようとおもいます(もちろんこういう記事を書いているということは可能であるということなのですが)。

基本解を求めるニダ!!

ロンスキアンによって求められる特殊解をロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立とおくと、一般解は、

ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立

まず基本解から求めると、

ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立

なので、ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立と置きまして、

ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立

ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立

この結果によって、

ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立

よって解はロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立の2つになるので積分定数をそれぞれロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立と置けば基本解は次のようになります。

ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立

 

次に特殊解を求めるニダよ<;`∀´>

さらに今度は定係数2階非同次線型方程式における特解をロンスキー行列式と呼ばれる数式を使って解いていきます。
まず最終的に求める一般解は、

ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立

となるので求めるのは第3項の特解部分、ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立になりこれは次のように表せられるものになります。

ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立

また式中のロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立は次のような行列式を使ったものになります。

ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立

基本解が2つなので、

ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立

先ほどの解を次のように置きます。

ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立

一階微分で、

ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立

これをロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立の式へ代入して計算していきます。

ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立

ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立
ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立

という結果が出てきたのでこれらをロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立の式に代入していきます。 ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立
ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立
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ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立

まず右辺第一項の計算を行うと、
ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立

ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立
ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立
ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立

のように部分積分などを使って計算していけば次のように求まります。

ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立

ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立

この出てきた解が問題にしている微分方程式の特殊解になります。

ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立

よって一般解は次のようになります。

ロンスキー行列式,ロンスキアン,定係数2階非同次微分方程式,線形従属,線形独立

とまあこんな感じでコリオリ弾道計算で出てきた特殊解と同じものが導き出されることがわかります。
ちなみにこのロンスキー行列式というのはその問題にしている方程式が線形独立か、または線形従属なのかといったことなどを調べるためにも使われます。

 

nextupprevious

 

おながいします(・ω・)

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