2016年9月5日

ロンスキアンその@

ロンスキー行列式@

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学



去年の投稿記事、コリオリ弾道計算で定型数2階非同次微分方程式の計算をロンスキ―行列式を使ってその因果律を求めました。今回はそのロンスキアンについて数回に分けた連載といった感じでやっていこうと思います。内容的には別ドメイン用の下書きコンテンツですので多少粗削りなところもあると思いますが何卒ご了承願います(不定期更新です)。

ロンスキ―行列式の証明とその応用

定型数2階非同次微分方程式の解法

今ここで以下のような微分方程式を考えます。
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上記のような微分方程式を2階非同次微分方程式と呼び、さらに右辺の項を0として得られるような次のような微分方程式、


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のような式を同時式と言ったりします。

 

ここでいったん次のように、

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線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学を作用素として置くと上の同次と非同次のそれぞれの微分方程式は以下のようにあらわします。

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線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学式に対して線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学がどちらとも解であるとすると線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学を任意定数として考えたとき、その結合が、

 

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線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学の解であると考えられ、この2つの関数がどんな場合においても次のような、

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となる定数線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学であるとするならば、

 

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一次独立

ここで線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学の式を微分して次のような連立方程式を考えます。

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この式を行列を使って表現すると、

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この線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学の部分に関する行列の逆行列が存在すると考えた場合、

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となるような逆行列式が存在するとするならば定数線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学であると考えることができます。

 

また、上記式の、

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これの行列式、

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が0でないならば逆行列が存在するのでそのための積分定数の線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学は0であると考えられ、このようなとき1次独立といって線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学のような左辺を0と置いたときの斉次線形微分方程式における2個の(1次独立な)解を線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学の基本解だと考えられます。

 

またこれに反して関数が1次独立でない場合はその関数を1次従属などと言ったりします。

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nextupprevious

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