二次元のスカラー場を考えるとき、数学的には単にx,yの関数によって表現されます。つまりx,yの値(一つの座標点)が与えられたとき、その座標におけるスカラー場の値が決まります。そしてそのスカラー場における勾配は偏微分で与えられると覚えておきましょう。
【スカラー場の勾配】

ベクトル,ベクトル解析,スカラー場

ベクトル,ベクトル解析,スカラー場方向の勾配をまとめると、

スカラー場ベクトル,ベクトル解析,スカラー場の勾配ベクトル,ベクトル解析,スカラー場方向の勾配ベクトル,ベクトル解析,スカラー場方向への勾配ベクトル,ベクトル解析,スカラー場

ベクトル,ベクトル解析,スカラー場

これらを、grad f(x,y)あるいは∇ f(x,y)と書きます。

 

ベクトル,ベクトル解析,スカラー場



【例題@】 二次元スカラー場の“勾配ベクトル”の計算

2次元スカラー場の勾配ベクトル

2次元スカラー場の勾配ベクトル

2次元スカラー場の勾配ベクトル

 

2次元スカラー場の勾配ベクトル

2次元スカラー場の勾配ベクトル

2次元スカラー場の勾配ベクトル

 

2次元スカラー場の勾配ベクトル

2次元スカラー場の勾配ベクトル

2次元スカラー場の勾配ベクトル

 

2次元スカラー場の勾配ベクトル

チェーンルール

合成関数の微分

などの合成関数微分を施して、

2次元スカラー場の勾配ベクトル

2次元スカラー場の勾配ベクトル

 

○スカラー場スカラー場の勾配ベクトルの勾配ベクトル.

スカラー場の勾配ベクトル


なのでnablaを次のように表します。

nabla

例題A
次に示す三次元スカラー場f(x,y,z)に対する勾配ベクトル場grad f(x,y,z)の導出。

 

ベクトル,ベクトル解析,スカラー場

ベクトル,ベクトル解析,スカラー場

ベクトル,ベクトル解析,スカラー場
ベクトル,ベクトル解析,スカラー場

ベクトル,ベクトル解析,スカラー場

 

ベクトル,ベクトル解析,スカラー場

ベクトル,ベクトル解析,スカラー場

合成関数の微分

などといった合成関数微分を施して、それぞれを計算します。
合成関数の微分
合成関数の微分
合成関数の微分

合成関数の微分

合成関数の微分
合成関数の微分
合成関数の微分
合成関数の微分

ベクトル,ベクトル解析,スカラー場

勾配ベクトルの視覚化

以下に示される“場”があったとします。
ベクトル,ベクトル解析,スカラー場

このときのスカラー場スカラー場に対する勾配ベクトル場は

ベクトル,ベクトル解析,スカラー場

ベクトル,ベクトル解析,スカラー場

これを上図の座標点に書き入れると次のようになります。
ベクトル,ベクトル解析,スカラー場

nextupprevious

スカラー場:その数学的取扱い記事一覧

次に示されるベクトル場、を、下図における座標点に書き入れてみましょう。

によって示されるベクトル勾配の図は以下のようになります。