ベクトル場の回転(ローテーション)

このセクションでは、ベクトル場の回転というものを考えます。

まず、ベクトル場vector Aの回転というのは、

rotation A

と書きます。

 

ベクトル場の発散(ダイバージェンス)はスカラー場でありましたが、ベクトル場の回転(ローテーション)は、ベクトル場になります。

rotation A

「ベクトル場の回転」という(ベクトルの)向きは、z軸のプラス方向の、右ねじの進む向きになります。

『ベクトル場の回転方向に対して右ねじの進む方向』が、

『ベクトル場の回転rotation A』の向き

“発散”において勾配を調べるときに使った領域を、今度は次のようにノズルをもった形に変形させてみましょう。

 

ベクトル,ベクトル解析

さらにそのノズルにおいてはそれぞれの方向に対するベクトル値を書き入れます。
このとき左右の出口からの寄与と上下の出口からの寄与は別々に考えます。
下の図、ベクトルベクトル,ベクトル解析において、座標ベクトル,ベクトル解析を中心としたときのベクトル場の回転は、

ベクトル,ベクトル解析

なので、

ベクトル,ベクトル解析

さらに、ベクトル成分を用いた表現においては次のようになります。

ベクトル,ベクトル解析

 

ここでベクトル,ベクトル解析について考察してみましょう。

 

これは三次元のナブラ、

ベクトル,ベクトル解析

と、
三次元のベクトル場

ベクトル,ベクトル解析

の外積ベクトルベクトル,ベクトル解析ベクトル,ベクトル解析によって与えられます。

ベクトル,ベクトル解析

ベクトル,ベクトル解析
ベクトル,ベクトル解析

ベクトル,ベクトル解析
ベクトル,ベクトル解析
ベクトル,ベクトル解析

以上のことを踏まえると、
二次元ベクトル場ベクトル,ベクトル解析というのは三次元ベクトル場、

ベクトル,ベクトル解析

においての

ベクトル,ベクトル解析

であり、さらには、

ベクトル,ベクトル解析ベクトル,ベクトル解析zに依存しない場合に相当する

   ということがいえるかと思います。

ベクトル,ベクトル解析

このときにおいて、

ベクトル,ベクトル解析

なので、

ベクトル,ベクトル解析

ベクトル,ベクトル解析

これらにより、『二次元ベクトル場の回転』においては、これは常にz成分のみを持つので結局のところ、

ベクトル,ベクトル解析

ベクトル,ベクトル解析

となります。
つまり、二次元ベクトル場の回転(ローテーション)を考えるときでも、『二次元ベクトル場』を『三次元ベクトル場の特別な場合』と考える必要があります。

 

まとめると、
一般の三次元ベクトル場ベクトル,ベクトル解析における回転(ローテーション)は、『三次元のナブラ』と『三次元のベクトル場』の外積で与えられるベクトル

ベクトル,ベクトル解析

にほかなりません。

【ベクトル場の回転に関する補足】

『ベクトル場の回転』ベクトル,ベクトル解析はベクトル場です。
そのベクトルに関して注意する点を軽くまとめると、
方向: ベクトル場の回転に合わせて回る右ねじの進む向き
大きさ: 回転の強さ

 

二次元ベクトル場の場合においてはつねに、

ベクトル,ベクトル解析

が成り立ちます。
ベクトル,ベクトル解析

 

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