ベクトルの内積・外積の数学的一般化


ベクトルの成分計算

ベクトルvector A Bのそれぞれの成分を、単位ベクター単位ベクトルを使って ベクトル成分と書くとき、その内積ABの内積の成分計算は次のようになります。

内積計算

内積計算

内積計算

内積計算

内積計算

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catenary

外積の数学的一般化

と書いた場合、これは
  • 大きさ 外積の大きさ
  • 向き  ベクトル,ベクトル解析,内積,外積,数学的一般化vector Bに垂直で、かつvector Aからvector Bへ回した右ねじの進む方向であるような「ベクトル」
を表します。
そして、このcross ABvector Avector Bの外積といいます。

 

また分配法則として次のようなことが成り立ちます。

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同じベクトルどうしの外積は0になります。
A×Aの大きさは定義により

A×A

であるので、同じ大きさのベクトルは0になります。
しかしここで注意すると、外積はベクトル積であるので

同じ大きさのベクトル

という表記が正しいです(右辺は零ベクトル)。 今度は具体的にベクトルの中身の計算をやってみましょう。
まず計算するベクトルを

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とします。このときvector Avector Bの外積は次のように計算されます。

 

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異なる単位ベクトルの外積を考えます。
まず、異なる単位ベクトル間の外積の大きさは

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同様にして、

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となります。
では異なる単位ベクトルの外積の向きはどうなるでしょうか?
まずvector ijを考えます。vector ijの向きは外積の定義によりvector ivector jに垂直で、vector ivector jに回した右ねじの進む向きだからこれは結局のところvector kの向きです。先の結果からベクトル,ベクトル解析,内積,外積,数学的一般化だったので結局のところ、

unit vector

また、外積の順序を逆にすると、

unit vector

以上をまとめると、
unit vector
unit vector
unit vector

ここでベクトル,ベクトル解析,内積,外積,数学的一般化式の成分にこれらをそれぞれ当てはめていけば、 ベクトル,ベクトル解析,内積,外積,数学的一般化
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よって2つのベクトルvector ABの単位ベクトルによる表現は、

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外積の幾何学的意味(面積ベクトル)

面積ベクトル

vector Avector Bの作る平面に垂直でvector Aからvector Bへまわした右ねじの進む向きの単位ベクトルをvector dとすると

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というふうに書けます。
左上図における平行四辺形の面積をSとすれば

S

つまり、A?Bと同じということになります。 よってvector Avector Bの外積は

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と表現できることになります。

 

helix

nextupprevious

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次の2つのベクトルについて、内積、および外積をそれぞれ求めてみましょう。

(内積)においてに対応している数字はそれぞれこれらをそれぞれ当てはめていきます。まず、内積より(外積)よってベクトル積は