電磁気応用の簡単な例


ROTの計算

物理科の一年次に習うベクトル解析でのローテーション計算に関しての記述は、ほとんどの場合3行3列の行列式に表記しているかと思います。たいていの場合、実際の計算ではサラスで解くか、あるいは行列表記ではないこの公式のようなもの(↓)を解説しているのが主流かと思います。

ローテーションの公式

こういったのは覚えるのに大変苦労するので、このローテーション計算に関する行列式を、スカラー三重積のセクションにおいて出てきた『行列式展開法』を使ってやってみることにしましょう。
【式の変形】
ローテーションの行列式の表記はこのようだったと思います。

ベクトル,ベクトル解析電磁気学,ローレンツ力,クーロン力,電場,磁場

これを、スカラー三重積のセクションにおいてやった配置換えを同じように施します。

ベクトル,ベクトル解析電磁気学,ローレンツ力,クーロン力,電場,磁場

のようにします。

 

早速やってみると、 ベクトル,ベクトル解析電磁気学,ローレンツ力,クーロン力,電場,磁場
ベクトル,ベクトル解析電磁気学,ローレンツ力,クーロン力,電場,磁場
ベクトル,ベクトル解析電磁気学,ローレンツ力,クーロン力,電場,磁場

ベクトル,ベクトル解析電磁気学,ローレンツ力,クーロン力,電場,磁場

 

 

荷電粒子の運動方程式

一定の強さベクトル,ベクトル解析電磁気学,ローレンツ力,クーロン力,電場,磁場の電場に磁束密度ベクトル,ベクトル解析電磁気学,ローレンツ力,クーロン力,電場,磁場の一定の強さの磁場がz方向にかけられているとします。
この座標系においての荷電粒子の運動方程式を求めてみましょう。
まず、考えている座標系においての電場と磁場のそれぞれ3方向の成分を次のようなものとします。

ベクトル,ベクトル解析電磁気学,ローレンツ力,クーロン力,電場,磁場

クーロン力があるときのローレンツ力は次のように表されます。

ベクトル,ベクトル解析電磁気学,ローレンツ力,クーロン力,電場,磁場

右辺第2項ベクトル,ベクトル解析電磁気学,ローレンツ力,クーロン力,電場,磁場を計算すると、
ベクトル,ベクトル解析電磁気学,ローレンツ力,クーロン力,電場,磁場

ベクトル,ベクトル解析電磁気学,ローレンツ力,クーロン力,電場,磁場
ベクトル,ベクトル解析電磁気学,ローレンツ力,クーロン力,電場,磁場

ローレンツの式に代入します。

ベクトル,ベクトル解析電磁気学,ローレンツ力,クーロン力,電場,磁場


さらにベクトルベクトル,ベクトル解析電磁気学,ローレンツ力,クーロン力,電場,磁場

ベクトル,ベクトル解析電磁気学,ローレンツ力,クーロン力,電場,磁場

であるならば、xyzのそれぞれの方向に対して次のようになります。

荷電粒子の振る舞い

ベクトル,ベクトル解析電磁気学,ローレンツ力,クーロン力,電場,磁場

 

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