ある座標点を中心とした領域からのベクトル(矢印)の外向き量を横、縦、別々に考え、それらをその領域の上下、あるいは左右の間隔で割ったものをその座標点からのベクトル場の発散、または“湧き出し”といいます。

 

二次元ベクトル場vector Aの発散において、ある一つの座標点ベクトル,ベクトル解析における値は、数学的にはその座標点ベクトル,ベクトル解析において計算された、

ベクトル,ベクトル解析

によって与えられます。 さらにはこのベクトル場の発散のことをdiv Aという記号で書きます。

div A

ちなみにこれらは以下のように書き換えることも出来ます。

div A

div A

div A

 

【例題@】
次に示すようなベクトル勾配があったとします。

ベクトル,ベクトル解析

このときのベクトル場におけるベクトル,ベクトル解析、及びベクトル,ベクトル解析の地点に対するダイバージェンス(ベクトル場の発散)を求めてみましょう。
まずポイントとする座標点ベクトル,ベクトル解析において次のような領域を考えます。
ベクトル,ベクトル解析

目標とする点を中心に縦横それぞれ2のメモリ幅の領域をとって、そこからの“出っ張り”の部分でのベクトル量をプロットします。
2つのメモリをとっているのでプロットした数字は“2”で割り算をします。

ベクトル,ベクトル解析

ベクトル,ベクトル解析
ベクトル,ベクトル解析

つぎにベクトル,ベクトル解析においてのダイバージェンスも先ほどと同じように座標点ベクトル,ベクトル解析において次のような領域を考えます。

 

ベクトル,ベクトル解析

 

先ほどと同じ要領で計算していきます。 ベクトル,ベクトル解析
ベクトル,ベクトル解析
ベクトル,ベクトル解析
ベクトル,ベクトル解析

 

【例題A】
下のベクトル場において、座標ベクトル,ベクトル解析のそれぞれにおけるdivergence(ダイバージェンス)を求めてみましょう。

ベクトル,ベクトル解析

(1)
目的とする座標点ベクトル,ベクトル解析において、次のように例題@で示したような領域を考えます。

ベクトル,ベクトル解析

これを元にダイバージェンスを求めると、 ベクトル,ベクトル解析
ベクトル,ベクトル解析
ベクトル,ベクトル解析

 

(2)

ベクトル,ベクトル解析
ベクトル,ベクトル解析

ベクトル,ベクトル解析
ベクトル,ベクトル解析
ベクトル,ベクトル解析
ベクトル,ベクトル解析

 

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ベクトル場の発散記事一覧

三次元でのベクトル表現はであるので、その発散は次のようになります。以上のことによりベクトル場の発散(ダイバージェンス)というのは、        ということなので、ダイバージェンスというのは、ナブラとベクトル場の内積ということがいえるでしょう(内積なのでスカラー量)。

【問題@】先ほどのセクションにおいて出てきた次のベクトル勾配、において、今度は座標点におけるダイバージェンスを求めてみましょう。【問題A】次に示されるベクトル場の発散を、偏微分の計算をによって求めてみましょう。【問題B】次の三次元ベクトル場のダイバージェンスを求めてみましょう。

【問題@】【問題A】【問題B】