ベクトル場の回転においての重要な性質を、ROT計算を利用して証明してみましょう。

【その@】

あるベクトル場vector A(x,y,z)があったとします。
そのベクトル場に対して、

vector A(x,y,z)

を満たすようなスカラー場scalar φ(x,y,z)が存在するためには、vector Aに対してどういった条件が必要かを考えます。

『ベクトル場vector Aがスカラー場scalar φ(x,y,z)の          
勾配ベクトル勾配ベクトルであるための必要条件は何か?』

ベクトル,ベクトル解析

ベクトル,ベクトル解析
ベクトル,ベクトル解析
ベクトル,ベクトル解析
ベクトル,ベクトル解析

よって

ベクトル,ベクトル解析

が必要条件になります。

回転のあるベクトル場は勾配ベクトルになり得ない

ベクトル,ベクトル解析


【そのA】

あるベクトル場ベクトル,ベクトル解析に対して、

ベクトル,ベクトル解析

を満たすようなベクトル場ベクトル,ベクトル解析が存在するためには、ベクトル,ベクトル解析に対してどのような条件が必要かを考えてみましょう。

ベクトル,ベクトル解析『ベクトル場ベクトル,ベクトル解析がベクトル場ベクトル,ベクトル解析
ローテーションであるための必要条件は何か?』

ベクトル場ベクトル,ベクトル解析

ベクトル,ベクトル解析

と書けるとします。
このとき、ベクトル場ベクトル,ベクトル解析のダイバージェンスを考えると

ベクトル,ベクトル解析

です。したがって、

ベクトル,ベクトル解析

が必要条件になります。

 

実際にこれを証明してみましょう。

ベクトル,ベクトル解析

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ベクトル,ベクトル解析
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