空は飛べないw

MonkeyPython#1

PYTHONグラフィクス1

nomal distribution image



関数の描画

三角関数

コサインの描画
Microsoft Windows [Version 6.3.9600]
(c) 2013 Microsoft Corporation. All rights reserved.
C:\WINDOWS\system32>python
Python 3.6.0 |Anaconda 4.3.0 (64-bit)| (default, Dec 23 2016, 11:57:41) [MSC v.1900 64 bit (AMD64)] on win32
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(0, 16, 0.001)
y = np.cos(x)
plt.plot(x,y)

 

plt.show()

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

 

 

importをし、xの幅を範囲指定します。
コサインならcos(x)と入力して上記のようにコードを入力、または上記のコード(import numpy as npから下の部分)をコピペしてそのまま張り付けてEnterキーを押せば左のような画像が簡単に出力されます。

サインの描画

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

先ほどと同じようにしてcosの部分のみをsinに変えます。xの値幅は自分で好きなように変えるとよいでしょう。
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C:\WINDOWS\system32>python
Python 3.6.0 |Anaconda 4.3.0 (64-bit)| (default, Dec 23 2016, 11:57:41) [MSC v.1900 64 bit (AMD64)] on win32
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(-3, 3, 0.001)
y = np.sin(x)
plt.plot(x, y)

 

plt.show()

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

正規分布関数

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

上の図のような釣り鐘型のグラフを一般的にnomal distribution imageで表しその内容を具体的な数式で表記すると次のようなものになります。

nomal distribution image

上記式中のμは平均、σの2乗は分散を意味しています。

C:\WINDOWS\system32>python
Python 3.6.0 |Anaconda 4.3.0 (64-bit)| (default, Dec 23 2016, 11:57:41) [MSC v.1900 64 bit (AMD64)] on win32
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
sigma = (1.0)
mu = (0)
x = np.arange(-5, 5, 0.001)
y = (1/np.sqrt(2 * np.pi * sigma)) * np.exp(-(x - mu)**2 / 2 * sigma**2)
plt.plot(x, y)

 

plt.show()

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正規分布関数の定積分計算

標準正規分布関数をプラス側とマイナス側に分けて実際に定積分し、同じ値が出るか確認してみましょう。
簡単のために平均のミューは0、分散は1として計算します。

 

Microsoft Windows [Version 6.3.9600]
(c) 2013 Microsoft Corporation. All rights reserved.

 

C:\WINDOWS\system32>python
Python 3.6.0 |Anaconda 4.3.0 (64-bit)| (default, Dec 23 2016, 11:57:41) [MSC v.1900 64 bit (AMD64)] on win32
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> from sympy import Symbol, exp, sqrt, pi, Integral
>>> x = Symbol('x')
>>> y = exp(-(x)**2/2)/sqrt(2*pi)
>>> Integral(y, (x, 0, 1)).evalf()
0.341344746068543
>>>

0.341344746068543という値が出ました。
次にxの定積分範囲を-1から0に指定してその値を出力します。
C:\WINDOWS\system32>python
Python 3.6.0 |Anaconda 4.3.0 (64-bit)| (default, Dec 23 2016, 11:57:41) [MSC v.1900 64 bit (AMD64)] on win32
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> from sympy import Symbol, exp, sqrt, pi, Integral
>>> x = Symbol('x')
>>> y = exp(-(x)**2/2)/sqrt(2*pi)
>>> Integral(y, (x, 0, 1)).evalf()
0.341344746068543
>>> Integral(y, (x, -1, 0)).evalf()
0.341344746068543
>>>

同じ0.341344746068543という値になります。
また積分範囲を-1から1のように指定すると、
C:\WINDOWS\system32>python
Python 3.6.0 |Anaconda 4.3.0 (64-bit)| (default, Dec 23 2016, 11:57:41) [MSC v.1900 64 bit (AMD64)] on win32
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> from sympy import Symbol, exp, sqrt, pi, Integral
>>> x = Symbol('x')
>>> y = exp(-(x)**2/2)/sqrt(2*pi)
>>> Integral(y, (x, 0, 1)).evalf()
0.341344746068543
>>> Integral(y, (x, -1, 0)).evalf()
0.341344746068543
>>> Integral(y, (x, -1, 1)).evalf()
0.682689492137086
>>>

と出るので2倍した数値が出てきます。
なのでy軸に対して対称性のある正規分布関数などを積分する場合は次のようなことができます。

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

逆に非対称ではこういったことはできません。
このような性質を使って求める場合があり、例えばガンマ関数の1/2の場合の積分値などがあります。

ガンマ関数2分の1の例

次のように表現される式、

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

これを線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学(ガンマ)関数といいます。 この関数の変数部分線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

の場合を計算してみましょう。

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線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

ここで次のような変数変換をします。

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線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

これを代入して計算していきますが、途中の式で先ほどの正規分布関数の性質を応用して0から無限大への積分範囲を、マイナスの無限大からプラスの無限大に拡大します。もちろん2倍になるので同値にするために2分の1を式中に付け足します。
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最後はガウス積分の公式、

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

を使っています。 結果的に次のような公式が導かれます。

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

これ以外にも典型的な関係式を挙げると次のようなものがあります。

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線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

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