よくわかる慣性モーメント

くり抜き円盤の慣性モーメント

 

 

平行軸定理の応用

慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤



上の絵の左側の斜線なしの部分は、元の円盤(半径a small)から半径慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤の部分をくりぬいたものと考えてください。
中心を慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤、半径a smallの円盤から、その半径を直径とする円をくり抜いた残りの部分のo large imageを通り、円盤に垂直な軸に関する慣性モーメントを求めます。
考える剛体をq large image、くり抜く円をr large image、軸をz small image軸とし、くり抜く前の円盤剛体をp large image
さらに円をくり抜く前の円盤のz small image軸周りの慣性モーメントを慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤、考える剛体慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤における軸周りの慣性モーメントを慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤、さらにくり抜いた円盤剛体慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤軸周りの慣性モーメントを慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤とします。

 

まず慣性モーメントの定義により次のような式が成り立ちます。

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これを変形させると、

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次に慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤を考えます。
円をくり抜く前の円盤の質量を慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤とすると、面積密度は慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤、微小面積は平面極座標を使えば、

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となるので、微小部分の質量は、

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になります。 これらをもとに式を組み立てて計算していきます。
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次に慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤を考えます。慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤の部分の質量は慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤であり、この慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤を求めるために慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤の中心を通り、慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤に垂直な軸周りの慣性モーメント慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤を求めます。 面積密度は慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤、微小面積慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤、そして軸からの距離は慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤であるので、慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤は 、

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ここで求めたい慣性モーメントは慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤と軸が平行で、距離が慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤だけ離れています。
そこで前説ででてきた平行軸の定理を使用します。

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よって慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤慣性モーメント,計算,平行軸の定理,くり抜き円盤より、

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