よくわかる慣性モーメント>>質点系と剛体の力学

剛体の運動

 

 

剛体の運動

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剛体・・・・任意の2点間の距離が運動の間中変化しないものをいう。
さらにこの場合、2点間の距離が変化しないので非相対論的な定義を適用できます。
剛体の運動を考える場合、剛体の空間的な配置がどうなるかはまず空間的位置とその“回転”を決定させる必要があります。

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剛体運動を解析するとき解くべき方程式は基本的にこの2つになります。

回転軸を持った剛体の回転

i  慣性モーメント(回転慣性を表す)
n  外力のモーメント(回転させようとする力)
と定義すると回転の方程式は次のようなものになります。

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慣性モーメント

三次元中の剛体の運動

回転の方程式とは慣性モーメントのことであり簡単に説明すると回転軸からの距離の2乗にその部分の質量をかけて剛体全体にわたって足しあげたものをいいます。

 

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まず剛体中の微小部分dvを考えます。この部分と回転軸までの距離を

 

微小部分と回転軸までの距離

 

としましょう。

 

次に剛体の密度を

剛体密度ρ

そうすると微小部分の慣性モーメントdI

dI

dI

dIを剛体全体についてたしあげると目的とする慣性モーメントの式になります。

 

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具体的な例【球の慣性モーメント】



具体的な例として球の慣性モーメントについてやってみましょう。

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回転軸をzにとり半径はa、重さをMとします。
回転軸zから垂直に伸ばした腕の長さは、

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微小体積部分は極座標におけるヤコビアンを使って、

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微小部分密度は

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以上により球のdIは、

dI

となります。
このdIに対し極座標における重積分により全体をたし上げたものが
目的とする慣性モーメントIになります。

 

球の慣性モーメント

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