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偏微分

 

 

偏微分

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○1つの式の中に2つの変数がある場合の関数偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数を考えてみましょう。

 

変数は2つあるので、このときの微分の仕方には次の2種類あります。

 

偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数

これを偏微分、または偏導関数といい、“rounded d”は分母にある変数で偏微分せよという意味の記号です。一般的には“ラウンド”などという呼び方をします。

 

計算法はとくに難しく考えるまでもなく、xで偏微分するときはx以外の変数は定数だとして普通に微分すればよいだけです。

 

たとえば次のような2変数関数について、xyのそれぞれに偏微分を行ってみましょう。

 

偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数

xについての偏微分は

偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数

yについての偏微分は

偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数

となります。

問題

次に示す3変数間についてそれぞれの変数に関しての偏微分を行ってみましょう。

 

偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数

 

答え

偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数

偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数

偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数

 

高階の偏導関数

偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数を一回だけ偏微分すると、2通りの結果が出ることをやりました。

 

次は2回目、さらにはそれ以上の偏微分を繰り返していった場合、どういう結果が出るかを考察してみましょう。

 

先ほどの偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数を2回偏微分すると、

 

偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数

 

この4通りがあることがわかります。さらに3回目の微分をすれば8通り、つまり偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数個の結果が出ます。

 

また、偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数の3変数関数に対して2回の偏微分をすれば、次のような結果

偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数

偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数

偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数

という偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数通りの結果が現れてくることがわかります。

 

また、さらに3回目の微分を行えば偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数通りの結果が出てきます。

 

 

実際に2階偏偏導関数の計算を行ってみましょう。

問題

次の2変数関数の2階偏導関数を求めてみましょう。

 

偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数

 

答え

 

偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数

偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数

なので次はそれぞれをさらに微分していきましょう。

偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数

偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数

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偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数

気づかれているように偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数は結果が同じです。

 

これは偶然などではなく微分する順番に関係なく結果が同じになるということです。

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偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数が何回でも偏微分可能ならば偏微分する順序は関係がない

ただし有限回しか偏微分できないときは注意しなければなりません。

 

偏導関数,微分積分,偏微分,合成関数,部分積分,2変数,高階偏導関数,3変数関数,ラウンド,指数関数

 

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