よくわかる慣性モーメント>>微分積分学

一変数関数の積分

一変数関数の積分

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不定積分

定積分

(1.1)を不定積分、(1.2)のほうを定積分といいます。最初の部分にでている“インテグラル”はインテグラルといい積分そのものを意味します。F(x)が被積分関数でありdxはこの場合xで積分しなければならないということを意味しています。

 


基本としては何で(どういった記号で)積分するかは大して重要ではなく上記のxという記号でなければ例えばuといった記号を使っても構いません。つまり

 

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と書いても意味は同じです。

 

ちなみに定積分が面積や長さを調べるものであり、それに対し不定積分は微分方程式などに使われます。

 

ある点xを考えxを含む微小区間dxを考えます。

 

xにおける関数値はfxです。よってfxdxは下図における短冊の面積と考えればよいでしょう。

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この短冊の面積を考えればsは次のようにして求められます。

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例題

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cというのはConstantのイニシャルであり積分定数のことです。

不定積分公式

以下は主な公式です。これぐらいは記憶しておくとあとあと便利だと思います。

不定積分公式

不定積分公式

置換積分

積分の変数変換

積分の計算というのは、主に積分の公式が使えるように変形させるという行為が非常に重要になってきます。
例えば次のような形の積分はどう行えばよいでしょうか?

不定積分

こういったものの場合、ほかのある変数で置き換える(置換)という作業をします。
上記の問題ではまず括弧の中のに不定積分着目してそれを仮に不定積分とおきましょう。
それをx微分すると、

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となるのでこれらを元の式に代入すれば

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となります。これを普通に積分して元に戻せば、

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となります。

問題

次の問題を解いてみましょう。

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答え

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部分積分法

公式としては次のようになります。

部分積分公式

慣性モーメント,微分積分,一変数関数積分,定積分,部分積分,三角関数積分公式,対数積分,インテグラル,置換積分,積分公式の右上についているプライムという記号は一回微分したという意味です。
2つの関数が積の形になっているもので、その左辺のどちらかの関数を、微分してある関数と考えて、右辺に書かれているような形におくという作業をします。
以下に示す例題において実際にやってみると次のようになります。

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xgにあたり、慣性モーメント,微分積分,一変数関数積分,定積分,部分積分,三角関数積分公式,対数積分,インテグラル,置換積分,積分公式慣性モーメント,微分積分,一変数関数積分,定積分,部分積分,三角関数積分公式,対数積分,インテグラル,置換積分,積分公式に相当します。ですのでまず慣性モーメント,微分積分,一変数関数積分,定積分,部分積分,三角関数積分公式,対数積分,インテグラル,置換積分,積分公式を求めなければならないので慣性モーメント,微分積分,一変数関数積分,定積分,部分積分,三角関数積分公式,対数積分,インテグラル,置換積分,積分公式を積分します。

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これを部分積分の公式に入れていくと、

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問題

次に示す不定積分を部分積分によって解いてみましょう。

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答え

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ここで慣性モーメント,微分積分,一変数関数積分,定積分,部分積分,三角関数積分公式,対数積分,インテグラル,置換積分,積分公式慣性モーメント,微分積分,一変数関数積分,定積分,部分積分,三角関数積分公式,対数積分,インテグラル,置換積分,積分公式と置きましょう。

 

すると、

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定積分

例題

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部分積分法を使います。

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ちなみに慣性モーメント,微分積分,一変数関数積分,定積分,部分積分,三角関数積分公式,対数積分,インテグラル,置換積分,積分公式の性質上、sinπは0です。sinπ/2だと1になります。

 

こういったことは記憶ではなく、頭の中に次に示すような単位円を思い浮かべるとわかりやすいかと思います(理由は自分で考えてみてください)。

単位円

三角関数の積分公式

球の慣性モーメントを計算する際に次に示すような三角関数の積分計算が必要になります。

三角関数

三角関数の公式として次のようなものがあります。

三角関数

三角関数

これを当てはめれば

三角関数の積分公式

 

三角関数の積分計算
三角関数の積分計算
三角関数の積分計算



また上記にの方法以外にも次に示されるような三角関数の積分公式があります。

三角関数の積分公式かつ、三角関数の積分公式のとき、

三角関数の積分公式

三角関数の積分公式かつ、三角関数の積分公式のとき、

三角関数の積分公式

三角関数の積分公式かつ、三角関数の積分公式のとき、

三角関数の積分公式

三角関数の積分公式かつ、三角関数の積分公式のとき、

三角関数の積分公式

上記の公式を使って実際にやってみると、
三角関数の積分公式の式にそれぞれ当てはめていけば、

三角関数の積分公式

 

三角関数の積分公式
三角関数の積分公式
三角関数の積分公式


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