よくわかる慣性モーメント >> ヤコビアン−関数行列式

微小面積要素の計算

 

 

三次元ベクトル描画

微小面積要素の計算

ある座標系ヤコビアン,関数行列式,微小面積要素,計算,デカルト座標,極座標,微小体積要素,円柱座標を他の座標系 ヤコビアン,関数行列式,微小面積要素,計算,デカルト座標,極座標,微小体積要素,円柱座標へ変えるとき、

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という式が成り立ちます。

 

このときの関数行列式をヤコビアン(関数行列式)と呼び、次のように表せるものになります。

関数行列式

実際にデカルトから極座標への変換をこのヤコビアン(関数行列式)をつかって求めてみましょう。

 

まず、デカルト座標においてr、θを表すと、

平面極座

このx,yの式をそれぞれr、θによって偏微分していきます。

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ヤコビアン,関数行列式,微小面積要素,計算,デカルト座標,極座標,微小体積要素,円柱座標座標系からヤコビアン,関数行列式,微小面積要素,計算,デカルト座標,極座標,微小体積要素,円柱座標へ移行するヤコビアンは、

 

 

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これにそれぞれを代入していきます。

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微小体積要素の移動ルート

一般的な座標ヤコビアン,関数行列式,微小面積要素,計算,デカルト座標,極座標,微小体積要素,円柱座標への移動を考えてみましょう。

 

この移動ルートにはヤコビアン,関数行列式,微小面積要素,計算,デカルト座標,極座標,微小体積要素,円柱座標通りがあります。

 

 

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微小堆積要素dvは、すべてのルートで囲まれた部分の体積

(最低次の近似)

 

デカルト座標系

上記のルート表にデカルト座標系を当てはめていけば次のようになります。

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極座標系

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極座標系

 

円柱座標系

円柱座標系

 

円柱座標系

微小面積要素の計算関連ページ

dvの計算法
ある座標系を他の座標系へ変換するときに関数行列式をいうのを用います。この時の関数行列式をヤコビアンと呼びます。このヤコビアンを使って実際にデカルト座標系から極座標、さらには円柱座標系への変換を、偏微分や行列計算を行って求めます。

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