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dvの計算法−ヤコビアンを使うやり方

 

 

ヤコビアン,関数行列式,微小面積要素,計算,デカルト座標,極座標,微小体積要素,円柱座標

dvの計算法−ヤコビアンを使うやり方

座標系ヤコビアン,関数行列式,微小面積要素,計算,デカルト座標,極座標,微小体積要素,円柱座標座標系ヤコビアン,関数行列式,微小面積要素,計算,デカルト座標,極座標,微小体積要素,円柱座標へ座標変換するとき先ほどのセクションで出てきた関数行列式をつかうと次のようになります。

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ここで中央部分の行列は、

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極座標

実際にデカルトから極へ移行するときのヤコビアン,関数行列式,微小面積要素,計算,デカルト座標,極座標,微小体積要素,円柱座標を関数行列式で求めてみましょう。

 

まず、

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より、これに対する関数行列式(ヤコビアン)は次のようになります。

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この関数行列式(ヤコビアン)におけるヤコビアン,関数行列式,微小面積要素,計算,デカルト座標,極座標,微小体積要素,円柱座標の位置表現に対してはつぎのものを使います。

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これらをヤコビアンの行列式の中に示されるそれぞれの偏微分の式に当てはめて計算していけば、

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これらにより極座標におけるヤコビアンは、

極座標におけるヤコビアン

となるので、今度は実際にこのヤコビアンを計算していきます。

 

ちなみにここではサラスによる計算法ではなく行列式展開法というやり方でその計算過程を示します。 ヤコビアン,関数行列式,微小面積要素,計算,デカルト座標,極座標,微小体積要素,円柱座標
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よって極座標における微小体積要素ヤコビアン,関数行列式,微小面積要素,計算,デカルト座標,極座標,微小体積要素,円柱座標は次のようになります。

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円柱座標


今度はデカルトから円柱座標へのヤコビアンを求めてみましょう。

 

円柱座標は

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となるので、この円柱座標に対するヤコビアンの中の偏微分の式は、

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それぞれの偏微分を計算していくと、
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代入していきます。

 

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よって円柱座標における微小体積要素dvは次のようになります。

 

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dv計算の問題

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dv計算法−答え

areal element 問題@答え問題Aの答え極座標におけるヤコビアンを使用します。ちなみにとの範囲についてですが、これはまずを0からまで伸ばし、さらにはに関しては、例えば軸から0を中心にして180度動かし、そしてに関して360度回転させるという道筋になっています。ですのではその範囲がとなります。にはなりません。

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