2013年9月10日

3次方程式

3次方程式

サテライトサイト“微分方程式いろいろ”のコンテンツでフリードマンルメートル宇宙モデル(E=Vの場合における3次方程式)のページにミスがあったのでそれの修正を今現在加えており、ついでにというのもなんですが3次方程式とその宇宙モデルへの応用をテーマにしてみます。
高校までの方程式は2次方程式までならだれでもやったことがあるかと思います。
しかし3次方程式は習わないので一般的にさぞかし難しいんじゃないの?と思われる人もいるかと思いますがそんなことはありません。


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まず次のような3次方程式を考え、両辺を3次方程式で割ります。

ここで変数変換としてxを次のようにします。

上の式に代入します。


 

このような変数変換をすることにより2次の項がなくなります。 ここで見やすさのために次のように置換します。

次のような式が出来上がります。

さらにまたと変数変換し代入して計算を続けます。


上記のの式が成立するためには次が条件になります。

この状態からさらに余計なのを省くなどをすれば次のようになります↓

上の式に合わせるために下の式を3乗して次のように置きます。

より、

これをに代入して見かけ上の2次方程式を作ります。

3次方程式

3次方程式

こうすることでの2次方程式だと考えることができます。
さらにここで2次方程式の解の公式を思い出してそれを当てはめれば

3次方程式

3次方程式

3次方程式に対しても同じことが言えるので結局次のような式が求まります。

3次方程式

ここでこの3乗の式を満たす解はまず3次方程式なので1。
このことにより

3次方程式

それぞれの解は、

3次方程式

さらに3次方程式の解が1の立方根

3次方程式

と表せることを考慮すればPとQの立方根をとる際にも同じように3つの場合を考えるとまず、
のとき、

3次方程式

3次方程式

のとき、

3次方程式

3次方程式


のとき

3次方程式

3次方程式

も同じようにして次のようになります。

3次方程式

3次方程式

解の組み合わせ

今度は解の組み合わせについて考えます。
3次方程式であるためには3次方程式が実数でなければならないので、次のような組み合わになります。

3次方程式

これにより、

であるので代入すれば、


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