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シュレーディンガー方程式の極座標変換

2013年

次のような式があったとします。

2013年

これは量子力学の範囲になりますが一般的にシュレーディンガー方程式と呼ばれるものになります。
左辺に3次元方向における2階微分の作用素、つまりラプラシアンが入っています。 これを極座標で表現するとどのような形に変形できるかを考えてみましょう。
まずラプラシアンの極座標表現は次のように求まりました。

2013年

さらに次のような記号を使って表現を簡略化します。

2013年

2013年

これをシュレーディンガー方程式に代入していきます。

2013年

2013年

2013年

ここで次のような逆算、

2013年

2013年

の関係があるので次のように表します。

2013年

2013年に関しての中の変数を次のように分離して考えることにします。

2013年

代入して計算していきます。

2013年

2013年

ここで両辺に2013年を掛けます。

2013年

2013年

この出てきた式を見ればわかるように両辺がそれぞれの変数に分かれており、
このような形にできたとき互いの変数を定数とみなすことができます。こうしたやり方を変数分離形と言ったりします。

 

その定数をlambdaと置いてそれぞれを変形していきます。

2013年

2013年

2013年

2013年

次に右辺の計算。

2013年

2013年

さらにここで、

2013年

より、

2013年

再度同じように変数分離を行います。

2013年

2013年

2013年

2013年

2013年

見てわかるように先ほどと同じく変数分離形のかたちになっています。
今度はそれぞれの定数を2013年と置きます。
まず、

2013年

次に左辺の計算

2013年

2013年

2013年

まとめると次のように求まります。
2013年 2013年 2013年

2013年upprevious


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