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次のような式があったとします。 これは量子力学の範囲になりますが一般的にシュレーディンガー方程式と呼ばれるものになります。
左辺に３次元方向における２階微分の作用素、つまりラプラシアンが入っています。 これを極座標で表現するとどのような形に変形できるかを考えてみましょう。
まずラプラシアンの極座標表現は次のように求まりました。

さらに次のような記号を使って表現を簡略化します。

これをシュレーディンガー方程式に代入していきます。

ここで次のような逆算、

の関係があるので次のように表します。

に関しての中の変数を次のように分離して考えることにします。

代入して計算していきます。

ここで両辺にを掛けます。

この出てきた式を見ればわかるように両辺がそれぞれの変数に分かれており、
このような形にできたとき互いの変数を定数とみなすことができます。こうしたやり方を変数分離形と言ったりします。

 

その定数をと置いてそれぞれを変形していきます。

次に右辺の計算。

さらにここで、

より、

再度同じように変数分離を行います。

見てわかるように先ほどと同じく変数分離形のかたちになっています。

今度はそれぞれの定数をと置きます。
まず、

次に左辺の計算

まとめると次のように求まります。