2013年9月23日

極座標への変換

デカルト座標から極座標へ

極座標を示す単位ベクトルとして極座標,座標変換なるものを定義し、極座標,座標変換はそれぞれ
極座標,座標変換方向極座標,座標変換動径方向:極座標,座標変換方向 極座標,座標変換子午線方向:極座標,座標変換方向極座標,座標変換方位角方向 を表すものとします。
極座標,座標変換

極座標,座標変換

さらにこれらの成分をそれぞれ示せば
極座標,座標変換ベクトル
極座標,座標変換成分 極座標,座標変換  極座標,座標変換成分 極座標,座標変換  極座標,座標変換成分 極座標,座標変換
極座標,座標変換平面 極座標,座標変換
極座標,座標変換ベクトル
極座標,座標変換成分 極座標,座標変換  極座標,座標変換成分 極座標,座標変換  極座標,座標変換成分 極座標,座標変換
極座標,座標変換平面 極座標,座標変換
極座標,座標変換ベクトル
極座標,座標変換成分極座標,座標変換  極座標,座標変換成分 極座標,座標変換  極座標,座標変換成分 極座標,座標変換

 

となり表であらわすと次のようになります。

極座標,座標変換

極座標,座標変換

極座標,座標変換

極座標,座標変換

極座標,座標変換

極座標,座標変換

極座標,座標変換

極座標,座標変換

極座標,座標変換

極座標,座標変換

極座標,座標変換

極座標,座標変換

極座標,座標変換

極座標,座標変換

0

さらに2次元の場合、極座標,座標変換となるので極座標,座標変換より

極座標,座標変換

極座標,座標変換

極座標,座標変換

極座標,座標変換

極座標,座標変換

極座標,座標変換

極座標,座標変換

極座標,座標変換

極座標の時間微分

2次元において任意のベクトルを極座標,座標変換とします。この極座標,座標変換を、直交座標系極座標,座標変換軸の原点を共通にした回転角極座標,座標変換の回転座標系極座標,座標変換の両方から見た場合の座標を考え、これを任意のベクトル極座標,座標変換を使って表現すると、

極座標,座標変換

極座標,座標変換

極座標というのはいわば回転座標ともいえ極座標,座標変換と表されます。

 

次に任意のベクトルが質点の速度を表すベクトル極座標,座標変換であるとすると、ベクトル変換の関係から、

極座標,座標変換

極座標,座標変換


極座標,座標変換

ここでベクトル極座標,座標変換極座標,座標変換成分を極座標,座標変換とすれば速度はこれらの時間微分であるので、

極座標,座標変換

さらに速度を得るために極座標,座標変換の時間微分を代入すれば、
極座標,座標変換

極座標,座標変換
極座標,座標変換
極座標,座標変換

極座標,座標変換

極座標,座標変換
極座標,座標変換
極座標,座標変換

となり以上をまとめれば

極座標,座標変換

極座標,座標変換

nextupprevious

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