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ラプラス変換

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時間に関するある関数を数学,物理数学,数学ブログ,ラプラス変換,mathematical.jpとして、この関数を

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と置いたとします。
この関数数学,物理数学,数学ブログ,ラプラス変換,mathematical.jpに対して数学,物理数学,数学ブログ,ラプラス変換,mathematical.jpをかけてそれらを数学,物理数学,数学ブログ,ラプラス変換,mathematical.jpからプラスの数学,物理数学,数学ブログ,ラプラス変換,mathematical.jpの範囲において積分し、その積分によって数学,物理数学,数学ブログ,ラプラス変換,mathematical.jpとは違う関数に変換することをラプラス変換するといいます。
フーリエ変換コンテンツでも言ったように簡単には解けないような複雑な微分方程式を、このラプラス変換を行うことによって見通し(計算を簡素化)をよくするといった利点があります。

実際の計算

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ここで上記式中の乗数部分を次のようにおいて置換積分していきます。

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これを数学,物理数学,数学ブログ,ラプラス変換,mathematical.jpで微分すると、

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代入して計算していきます。

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といった変数数学,物理数学,数学ブログ,ラプラス変換,mathematical.jpの関数に変換されます。
こういった変換をおこなうことによって、見通しの悪かったある時間に関する関数(微分方程式)がこのような代数的な解を導くことが可能になるといった利点があります。

 

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ラプラス変換式の導出

数学,物理数学,数学ブログ,ラプラス変換,mathematical.jpの場合のラプラス変換

 

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より、

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これより時間関数が定数の場合の結果は次のような式に変換されます。

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