2013年9月12日

極座標ラプラシアン

ラプラシアンの極座標変換への具体的な計算

ラプラシアン,極座標,座標変換


ラプラシアン,極座標,座標変換

 

 

 

ラプラシアン,極座標,座標変換


ラプラシアン,極座標,座標変換

三次元作用素の表記は上記のように表し右の記号はナブラといいます。 そして三方向の2回微分の表記は次のようになり、一般的にラプラシアンといいます。

ラプラシアン,極座標,座標変換

 

前回までは2次元要素の作用素を回転座標系においてどのように変形するかを考察しましたが今度はこのラプラシアンの表記が、回転座標系においてどのように表現できるのかを考察します。
まず最初に3次元の座標系を2次元のふたつに分けて考えます。上記の三次元座標系の関係より、
ラプラシアン,極座標,座標変換
ラプラシアン,極座標,座標変換

ラプラシアン,極座標,座標変換

左の座標系の作用素変換はこの記事内で行っているので極座標変換後の作用素は、

ラプラシアン,極座標,座標変換

 

次に右の座標系におけるデカルト座標での作用素、

ラプラシアン,極座標,座標変換

の変換を行いますが、内容は記号が違うだけでほぼ同じですが一応念のため計算してみましょう。

 

上記のラプラシアン,極座標,座標変換座標系におけるオペレーターを座標内のラプラシアン,極座標,座標変換でのオペレーターに変換します。
まず一次近似により次のように全微分を施します。

ラプラシアン,極座標,座標変換

さらにラプラシアン,極座標,座標変換によって偏微分を行います。

ラプラシアン,極座標,座標変換

ラプラシアン,極座標,座標変換

ここで上記式の第1項と第2項のラプラシアン,極座標,座標変換ラプラシアン,極座標,座標変換ラプラシアン,極座標,座標変換ラプラシアン,極座標,座標変換でチェーンさせます。

ラプラシアン,極座標,座標変換

ラプラシアン,極座標,座標変換

ラプラシアン,極座標,座標変換

ラプラシアン,極座標,座標変換

ラプラシアン,極座標,座標変換

同様にしてラプラシアン,極座標,座標変換のほうも同じように計算していくと次のように求まります。

ラプラシアン,極座標,座標変換

ラプラシアン,極座標,座標変換

ここで座標図より、

ラプラシアン,極座標,座標変換

のような関係が導かれるのでそれらを使ってそれぞれの偏微分計算を行っていきます。

ラプラシアン,極座標,座標変換

ラプラシアン,極座標,座標変換

ラプラシアン,極座標,座標変換

次にラプラシアン,極座標,座標変換に関してはまずラプラシアン,極座標,座標変換ラプラシアン,極座標,座標変換と置きそれをラプラシアン,極座標,座標変換で微分します。

ラプラシアン,極座標,座標変換

ラプラシアン,極座標,座標変換

逆写像の定理により

ラプラシアン,極座標,座標変換

ラプラシアン,極座標,座標変換ラプラシアン,極座標,座標変換でチェーンさせます。

ラプラシアン,極座標,座標変換

これらの結果により次のように求まります。

ラプラシアン,極座標,座標変換

上記の結果に対してさらに偏微分を施します。

ラプラシアン,極座標,座標変換

ラプラシアン,極座標,座標変換
ラプラシアン,極座標,座標変換
ラプラシアン,極座標,座標変換
ラプラシアン,極座標,座標変換
ラプラシアン,極座標,座標変換

 

ラプラシアン,極座標,座標変換

ラプラシアン,極座標,座標変換
ラプラシアン,極座標,座標変換
ラプラシアン,極座標,座標変換

よって次のように求まります。

ラプラシアン,極座標,座標変換

ラプラシアン,極座標,座標変換の偏微分に関しても同様に計算していけば次のように求まります。

ラプラシアン,極座標,座標変換

ラプラシアン,極座標,座標変換

これらを

ラプラシアン,極座標,座標変換

へ代入していけば次のようになります。

ラプラシアン,極座標,座標変換

ラプラシアン,極座標,座標変換

辺々引き足しすればやはり10月7日の記事のように次のように求まります。

ラプラシアン,極座標,座標変換

ラプラシアン,極座標,座標変換

ラプラシアン,極座標,座標変換

ようやくラプラシアン,極座標,座標変換座標系およびラプラシアン,極座標,座標変換座標系は次のように求まりました。

ラプラシアン,極座標,座標変換

この両式を辺々足し引きします。

ラプラシアン,極座標,座標変換

ここでラプラシアン,極座標,座標変換なのでこれを上式に代入します。

ラプラシアン,極座標,座標変換

さらに今度は上記式の右辺第4項にあるラプラシアン,極座標,座標変換のオペレーターラプラシアン,極座標,座標変換を消去することを考えます。
まずオペレーターラプラシアン,極座標,座標変換ラプラシアン,極座標,座標変換ラプラシアン,極座標,座標変換の全微分は

ラプラシアン,極座標,座標変換

ここで前に計算した偏微分の結果、

ラプラシアン,極座標,座標変換

に対して次のような関係の

ラプラシアン,極座標,座標変換

ラプラシアン,極座標,座標変換


であるのでこれらを代入すれば、

ラプラシアン,極座標,座標変換

ラプラシアン,極座標,座標変換

ラプラシアン,極座標,座標変換
ラプラシアン,極座標,座標変換
ラプラシアン,極座標,座標変換
ラプラシアン,極座標,座標変換
ラプラシアン,極座標,座標変換
ラプラシアン,極座標,座標変換

ラプラシアン,極座標,座標変換

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