2013年9月12日

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三次元作用素の表記は上記のように表し右の記号はナブラといいます。 そして三方向の2回微分の表記は次のようになり、一般的にラプラシアンといいます。

 

前回までは2次元要素の作用素を回転座標系においてどのように変形するかを考察しましたが今度はこのラプラシアンの表記が、回転座標系においてどのように表現できるのかを考察します。
まず最初に3次元の座標系を2次元のふたつに分けて考えます。上記の三次元座標系の関係より、 左の座標系の作用素変換はこの記事内で行っているので極座標変換後の作用素は、

 

次に右の座標系におけるデカルト座標での作用素、

の変換を行いますが、内容は記号が違うだけでほぼ同じですが一応念のため計算してみましょう。

 

上記の座標系におけるオペレーターを座標内のでのオペレーターに変換します。
まず一次近似により次のように全微分を施します。

さらにによって偏微分を行います。

ここで上記式の第１項と第２項のとをとでチェーンさせます。

同様にしてのほうも同じように計算していくと次のように求まります。 ここで座標図より、

のような関係が導かれるのでそれらを使ってそれぞれの偏微分計算を行っていきます。

次にに関してはまずをと置きそれをで微分します。

逆写像の定理により

をでチェーンさせます。

これらの結果により次のように求まります。

上記の結果に対してさらに偏微分を施します。

 

よって次のように求まります。

の偏微分に関しても同様に計算していけば次のように求まります。
これらを

へ代入していけば次のようになります。 辺々引き足しすればやはり10月7日の記事のように次のように求まります。

ようやく座標系および座標系は次のように求まりました。 この両式を辺々足し引きします。

ここでなのでこれを上式に代入します。

さらに今度は上記式の右辺第4項にあるのオペレーターを消去することを考えます。
まずオペレーターのとの全微分は

ここで前に計算した偏微分の結果、

に対して次のような関係の


であるのでこれらを代入すれば、

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