よいこの低学年むけ数学ひろば

ガンマ関数とベッセル関数の微分変形

ベッセル関数の微分による変形過程

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp


ベッセル方程式とベッセル関数で求められた解と仮定したベキ級数は、

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

ここで次のような関数

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

このガンマ関数というのを使うと、

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

のような形に変形できるところまでやりました。

ガンマ関数の性質

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

この関数のそれぞれの主だった特徴は以下のようなものになります。

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

式@の計算
定義式

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

これをそのまま計算していきます。ちなみにこの計算では途中で次のよう部分積分の公式を使います。

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp


また上記式の0から無限大の部分の積分は次のような関係式を使っています。

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

式Aの計算
まず定義式より

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp


この式の場合数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpの乗数部分に1を足したものになるので、

 

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp


Bの計算

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

ベッセル関数のxにαをかけその線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学にν乗をし掛けた次のようなもの、

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

のような式を数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpで微分していった場合、式がどのような形に変形できるかを検討してみます。

 

ちなみに上記式の数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpはガンマ関数と呼ばれるもので次のようなものになります。


数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

 


ホーム RSS購読 サイトマップ
TOP 線型代数 ベクトル解析 慣性モーメント 解析力学 微分方程式 BSモデル HOME サイトマップ