フーリエ級数ドラフトコンテンツ

フーリエ級数まとめ@

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp


トップレベルドメインにて週ごとに作成した内容のまとめ記事になります。
他ドメイン用に作成したまとめのドラフトコンテンツなので粗削りな説明になっていますが何卒ご了承ください。

フーリエ級数展開

ある関数数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpにおいて周期数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpを持つとすると、その関数数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpは次のような三角関数を使った級数に展開することができるとします。

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

ここで上記式中の数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpを周期、角周波数を数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpと置くと、

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

角周波数は

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

これを先ほどのフーリエ級数の式に代入すれば、

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

このように表現されるとき上式の右辺、
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
の部分をフーリエ級数展開と言い、式中の数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpは次のようになります。

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

また上記式右辺第一項の数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpは余弦級数の係数と考えられそれについている2分の1は周期関数数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpにおける平均値としての数学的なテクニックとして与えられます。

右辺第一項数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpの導出

第一項の係数数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpから求めます。
最初の式、

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

これの両辺に数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpをかけてそれを数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpの範囲において積分を実行します。
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
ここで積分と和の式の順序を入れ替えると、 数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
これらを次のように置きます。
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

第1項

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

第1項数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpの時の係数と考えられるので次のように置きます。

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

これを以下のように計算していきます。

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp


数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp


数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

この結果により数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpの場合、右辺第1項のみが残るので、

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

第2項数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpの導出

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpの場合

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpの場合

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

倍角の公式、

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

のコサインのほうの式を使えば、
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

ここで数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpなので数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpに置き換えれば、

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

第3項の計算

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpの場合

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

三角関数の公式、

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

より、

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

これより数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpの場合の結果は次のようになります。

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpの場合
先ほどと同じく三角関数の公式、

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

より、

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp
数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

結果としてフーリエ級数の式、

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpをかけて計算していった場合は以下のような結果が求まります。

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jp

数学,物理数学,ブログ,統計数学,経済数学,mathematical.jpupprevious

フーリエ級数まとめ@関連ページ

フーリエ級数まとめB
数学系ブログ型Webコンテンツ置き場です。おもに物理数学をメインに扱いますが新規サイト用に作成したドラフト的なコンテンツもあります。
トップレベルドメイン直下のコンテンツ更新は大体1週間ぐらいに1記事あたりになると思いますが管理人が多忙な場合はそれ以上に伸びます。そのところを何卒ご了承くださいますようよろしくおながいしまスミダ<`∀´>
フーリエ級数まとめA
TLドメインで週ごとに作成したフーリエ級数記事のまとめコンテンツになります。他ドメイン用のドラフトなのでかなり粗削りな内容になりますが何卒ご了承ください。

ホーム RSS購読 サイトマップ
TOP 線型代数 ベクトル解析 慣性モーメント 解析力学 微分方程式 BSモデル HOME サイトマップ