2013年10月7日

座標変換1

平面極座標におけるオペレーター変換

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

デカルト座標系において座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学が、

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

のように表せるとき次のようなオペレーター

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

が平面極座標においてどのように表現できるのかを考察します。
座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学に関して式中の変数座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学での一次近似での関数の変化量は全微分によって次のように与えられます。

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

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まず座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学のほうから計算していきます。
上記の式に対してさらに座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学による偏微分を施します。

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

次に上記式右辺の第1項の座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学及び第3項の座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学の部分を座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学でチェーンさせます。

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

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これらを代入します。

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

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座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

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よって次のような結果になります。

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

次に先ほどの座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学のオペレーターに関して全微分は、

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

であったのでこれをさらにオペレートします。

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

xの時と同じように上記式の第1項と第3項をチェーンさせます。

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

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これらを代入し、先ほどと同じように計算していけば次のように求まります。

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

以上の結果をまとめると次のようになります。

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

偏微分項部分の具体的な計算

次に各々の偏微分項の計算をそれぞれ行ってみましょう。
座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学の間にはそれぞれ次のような関係式が導かれます。

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

なのでこれらを座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学のそれぞれにおいて偏微分を施していきます。

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

より

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

となるので座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学による偏微分結果は次のようになります。

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

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また座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学の微分に関してはまず座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学と置いて置換しそれを座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学で微分します。

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

さらに座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学となりこれを座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学で微分すると次のようになります。

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

ここで逆写像の定理により次のような表現ができます。

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

これに代入して解いていきます。

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

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座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学で微分するために座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学でチェーンさせます。

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

これに先ほどの結果を代入して計算していきます。

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これらの結果についてさらに偏微分を施します。

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さらに座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学についても同様に偏微分を施します。

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さらに座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学についても同様の偏微分を施せば次のように求まります。
座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学
座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

これらの結果を先ほど求めた座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学の変換式にそれぞれ代入していきます。

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座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

 

これらの結果を

座標変換,回転座標系,極座標,作用素,力学

へ代入していきます。
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よって次のように求まります。

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