お知らせ
当Webサイトはサイト作成システムの深刻な欠陥により現在リンクの変更を行っております。管理人が多忙のためリダイレクトサイトは作成せず、直接リンク変更を行う予定です。何卒ご了承ください。時期は未定になります。
既存のページはなるべく残すようにしますが直で変更しますのでブックマークなどしている方は、ご面倒になるかと思いますがこのドメインhttps://mathematical.jp/mathematical/ から目的のページに行くようにお願い申し上げます。
平面極座標におけるオペレーター変換
と表せるときデカルト座標における作用素の
が平面極座標において
のように変換しましたが今度は別の方法を考えてみましょう。
まず上記のとに対して全微分を施せば次のようになります。
などのように計算していけば次のように求まります。
今度は以下のようにそれぞれの式の両辺に次のようにdxにcosφ、dyにsinφをかけて両式を連立させてdrの式を導きます。さらに次のように連立させての式を作ります。
のそれぞれをで全微分を施します。
ここでの式に対してとのそれぞれにおいて偏微分を実行すれば
これらの式をの全微分の式へ代入すれば次のようになります。まずのオペレーターに関して両辺を2乗します。
この計算において注意する点は左の作用素が右にある被作用素に対して積の微分を実行しているということです。
次にに対しても同じように計算していきます。
辺々合わせれば次のように求まります。