よいこの低学年向け線形代数学

固有値と固有ベクトル

 

例題

 

の固有値と固有ベクトルを求めてみましょう。

 

また、

 

なので、次のようにそれぞれを代入していきます。

 

 

 

 

 

 

この結果によりλは以下のように求まります。

 

 

さらにここで

とすると、

1. をに代入して

    

   

    

   これを満たす

   

   を見つけると

    

   したがって

   

2. をに代入します。

   

   これらを満たすを見つけるとになります。

    

   なので、

   

 

以上の結果から

• の固有値は
• 固有値に属する固有ベクトルは
• 固有値に属する固有ベクトルは

 

 

規格化

先ほどのコンテンツおいては、例えばは、（はの複素数）とするのが本当は正しいのですが、

 

のように１つだけが代表させても特に問題はないと思います。

 

物理学（量子力学）において「規格化された固有ベクトルを求めなさい」という問題のときには、ベクトルの大きさを“１”にしておきます（詳しくは量子力学のテキストを参考にしてください）。

 

今の場合だと、

 

として、

 

 

これを“１”とおきます。

 

 

これにより

 

 

となります。

 

さらにこれも一般的に一つだけ代表して次のようにします。

 

 

　　

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