よいこの低学年向け線形代数学

固有値

 

 

固有値と固有ベクトル

 

トーラス

例題

線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル

 

の固有値と固有ベクトルを求めてみましょう。

 

線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル

また、

 

線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル

なので、次のようにそれぞれを代入していきます。

 

 

線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル

線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル

 

線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル

 

線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル

 

線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル

 

この結果によりλは以下のように求まります。

 

線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル

 

さらにここで

線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル

とすると、
  1. 線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトルに代入して

     

    線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル

     

    これを満たす

    線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル

    を見つけると線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル

     

    したがって

    線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル

  2. 線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトルに代入します。

    線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル

    これらを満たす線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトルを見つけると線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトルになります。

     

    なので、

    線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル

 

以上の結果から
  • 線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトルの固有値は線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル
  • 固有値線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトルに属する固有ベクトルは線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル
  • 固有値線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトルに属する固有ベクトルは線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル

 

 


規格化

先ほどのコンテンツおいては、例えば線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトルは、線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトルの複素数)とするのが本当は正しいのですが、

 

線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトルのように1つだけが代表させても特に問題はないと思います。

 

物理学(量子力学)において「規格化された固有ベクトルを求めなさい」という問題のときには、ベクトルの大きさを“1”にしておきます(詳しくは量子力学のテキストを参考にしてください)。

 

今の場合だと、

 

線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル

として、

 

線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル

 

これを“1”とおきます。

 

線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル

 

これにより

 

線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル

 

となります。

 

さらにこれも一般的に一つだけ代表して次のようにします。

 

線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル

線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値,求め方,固有ベクトル

 

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