よいこの低学年向け線形代数学

固有値と固有ベクトル

 

 

固有値と固有ベクトル

 

 

線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値

考え方は以下のようになります。

 

まずあるベクトル線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値があってそれはn行n列の行列の(一般的には)線形演算子(一次変換)とし、

 

また線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値をn次の列ベクトルとします。するとこのとき、

線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値

が成り立つならば

 

線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値

といいます。

ちなみに量子力学においては線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値が物理量、線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値が状態に、線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値が観測される値に対応します。

上記の(1)を変形すると、

線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値

線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値は単位行列です。いま仮に 線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値が存在したとすると、これを線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値の左から両辺にかけると、

 

線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値

 

線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値

 


線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値

線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値

これは、線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値という条件に反するので 線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値は存在しないことになります。従って、

線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値

でなければなりません。

 

線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値のn次方程式(これを固有方程式といいます)となるのでこれを解けば固有値線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値が求まるという寸法になります(一般的にはn個求まります)。

 

固有値線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値が求まったら、それらをそれぞれ線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値に代入し、連立方程式の形にして、そしてこれを解けば固有ベクトルが求まります。

 

固有値と固有ベクトルを求める例題はこちら

 

線形代数,線型代数,行列,逆行列,固有値

 

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