2017年5月20日

フーリエ級数@

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

フーリエ級数とは、熱の研究をしているときに熱伝導における境界値に関する問題など、それらを解析的に導くためにこのフーリエ級数という数理論的概念を構築したのが始まりだといわれています。
今日にいたっては物理学を中心にしたさまざまな方面の利用、数学や工学などの分野において現代科学の基礎技術として役立っているようです。

 

今回はこのフーリエ解析に関する内容を今週から数週に渡ってUPロードしていきたいと思います。
ちなみに他ドメイン用のドラフトコンテンツなのでかなり長めの内容になっています。

フーリエ級数展開

ある関数線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学において周期線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学を持つとすると、その関数線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学は次のような三角関数を使った級数に展開することができるとします。

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ここで上記式中の線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学を周期、角周波数を線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学と置くと、

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

これを次のような形に変形させると周期線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学は、

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

これを先ほどのフーリエ級数の式に代入すると、

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このように表現されるとき上式の右辺、

線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学

の部分をフーリエ級数展開といいます。
ちなみに上記式中の線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学は次のようになります。

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また上記式右辺第1項のa_0は余弦級数の係数と考えられそれについている2分の1は周期関数線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学における平均値としての数学的なテクニックとして与えられます。

前準備

具体的に上記式の線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学を求めて行きたいと思いますがいったんここで三角関数の性質についておさらいをしておきましょう。
三角関数の微分積分
サイン及びコサインをそれぞれ線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学微分すると次のようになります。

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次に積分の形を上記式から求めてみます。まずサインの微分式を次のように変形していきます。

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なのでコサインを積分すると次のようになります。

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次にコサインの微分式を変形していきます。

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よりサインの積分は次のようになります。

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偶奇性

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倍角の公式

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その他関係式

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また線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学及び線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学などの変数が整数ならば次のような関係があります。

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三角関数の和と積の公式

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これらの式を足し引き計算すると次のような関係式が求まります。

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三角関数の置換積分

次に示すような積分を考えます。

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やり方としてはまず線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学の中に入っている変数の線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学をいったん線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学と置いてそれを線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学で微分します。

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これを上の積分式に代入して計算していきます。

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出てきた結果の線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学をもとに戻せば、

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よって置換積分の結果は次のようになります。

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このような三角関数に関する性質や計算技術を使って、最初のほうで示した次のような式、

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における線型代数,ベクトル解析,慣性モーメント,解析力学,微分方程式,フーリエ解析,物理学,数学を具体的に求めていきます。

 

次回へ続きます。

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