よいこの低学年むけ数学ひろば

微分方程式,一階,常微分,ロンスキアン

ロンスキアン@に出てきた行列式Wは2行2列の式、

微分方程式,一階,常微分,ロンスキアン

でしたが厳密に書くと次のようなものになります。

微分方程式,一階,常微分,ロンスキアン

このロンスキアンを使って求めたい定型数2階非同次微分方程式の一般解は、ロンスキアン@〜Bの過程より次のような式になることをやりました。

微分方程式,一階,常微分,ロンスキアン

応用

いま高さ微分方程式,一階,常微分,ロンスキアンに関するある関数が存在し、それが時間微分方程式,一階,常微分,ロンスキアンに依存し重力加速度微分方程式,一階,常微分,ロンスキアンも加わった次のような定型数2階非同次微分方程式を考えます。

微分方程式,一階,常微分,ロンスキアン

ロンスキアン@〜Bまでの内容よりまず基本解から求めます。
上記式の右辺を微分方程式,一階,常微分,ロンスキアンと置いたとき式は、

微分方程式,一階,常微分,ロンスキアン

となるので求める基本解を微分方程式,一階,常微分,ロンスキアンと置いて、

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これにより式、微分方程式,一階,常微分,ロンスキアンは、

微分方程式,一階,常微分,ロンスキアン

なる2つの基本解を持つと考えられます。実際にロンスキアンを計算してみると、まず基本解の一階微分は、

微分方程式,一階,常微分,ロンスキアン

なので求めたいロンスキー行列式は次のように求まります。

微分方程式,一階,常微分,ロンスキアン

微分方程式,一階,常微分,ロンスキアン
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この結果により上記の2つの解は基本解だと考えることができます。

微分方程式,一階,常微分,ロンスキアン

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より、
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なので結果求める解は次のようになります。

微分方程式,一階,常微分,ロンスキアン

実際に因果律を求めてみると、

微分方程式,一階,常微分,ロンスキアン

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これらを微分方程式,一階,常微分,ロンスキアンに代入して計算していきます。
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微分方程式,一階,常微分,ロンスキアン
微分方程式,一階,常微分,ロンスキアン
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となるので微分方程式、

微分方程式,一階,常微分,ロンスキアン

の一般解は、

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であることがわかります。

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