よいこの低学年むけ数学ひろば

微分方程式,一階,常微分

いま最初の式を思い出すと、
微分方程式,一階,常微分
微分方程式,一階,常微分

よりこれらに代入して次のような結果を得ます。
微分方程式,一階,常微分
微分方程式,一階,常微分
微分方程式,一階,常微分
微分方程式,一階,常微分

 

ここで最初の微分方程式,一階,常微分を作用素とした同次と非同次の方程式はそれぞれ

微分方程式,一階,常微分

 

より、
微分方程式,一階,常微分
微分方程式,一階,常微分


微分方程式,一階,常微分


微分方程式,一階,常微分


なので、上式の右辺第1項と第2項はキャンセルされて次のような式、

微分方程式,一階,常微分

さらに先ほどの条件式を付け加えると、

微分方程式,一階,常微分

この2式を微分方程式,一階,常微分の連立微分方程式を解いていくとまず(1)の式から、
微分方程式,一階,常微分


微分方程式,一階,常微分

微分方程式,一階,常微分

これを(2)の式に代入します。

 

微分方程式,一階,常微分


微分方程式,一階,常微分


微分方程式,一階,常微分


微分方程式,一階,常微分


微分方程式,一階,常微分

微分方程式,一階,常微分

ここで出てきた上の行列式を次のようにおいて積分変形していきます。

微分方程式,一階,常微分

微分方程式,一階,常微分

より出てくる積分定数を微分方程式,一階,常微分と表示して、

微分方程式,一階,常微分

 

一方、微分方程式,一階,常微分は、

微分方程式,一階,常微分

微分方程式,一階,常微分

微分方程式,一階,常微分

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より、

微分方程式,一階,常微分

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微分方程式,一階,常微分


微分方程式,一階,常微分

微分方程式,一階,常微分

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同様にして、

微分方程式,一階,常微分

微分方程式,一階,常微分


これらの結果から1次結合の式より、
微分方程式,一階,常微分
微分方程式,一階,常微分


微分方程式,一階,常微分
微分方程式,一階,常微分
以上の結果により微分方程式,一階,常微分を同次微分方程式の基本解とし非同次方程式における特殊解を、

微分方程式,一階,常微分

とすれば非同次微分方程式、

微分方程式,一階,常微分

における一般解は次のようなものになります。

微分方程式,一階,常微分

微分方程式,一階,常微分

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