微分方程式いろいろ

例えば次のような式、

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式


微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式

この式は2階微分が入っており、変数以外の定係数が含まれるこういった微分方程式を一般的に2階非同次微分方程式などと言ったりします。
この形のロンスキアン行列式を使った定係数2階非同次微分方程式を解いていきます。

ロンスキ―行列式の証明とその応用

定型数2階非同次微分方程式の解法

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式

上記の2階非同次微分方程式を考え、さらに右辺の項を0として得られるような次のような微分方程式、

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式

 

のような式を同時式と言ったりします。

 

 

ここでいったん次のように、

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式を作用素として置くと上の同次と非同次のそれぞれの微分方程式は以下のようにあらわします。

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式式に対して微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式がどちらでも解であるとすると微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式を任意定数として考えたとき、その結合、

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式の解と考えられ、この2つの関数がどんな場合においても次のような、

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式

となる定数微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式であるとするならば、

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式

一次独立

ここで微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式の式を微分して次のような連立方程式を考えます。

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式

この式を行列を使って表現すると、

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式

となるような逆行列式が存在するとするならば定数微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式であると考えることができます。

 

また上記式の、

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式

これの行列式、

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式

が0でないならば逆行列が存在するのでそのための積分定数の微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式は0であると考えられ、このようなとき1次独立といって微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式のような左辺を0と置いたときの斉次線形微分方程式における2個の(1次独立な)解を微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式の基本解だと考えられます。

 

またこれに反して関数が1次独立でない場合はその関数を1次従属などと言ったりします。
微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式

1次従属

次のような関係式、

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式

上記の行列式をロンスキアンと呼び、微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式で表します。前述に述べた1次独立であるための必要十分条件になります。

 

逆に上記のロンスキアン行列式が、

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式

であるならば1次従属。

 

考え方としては次のようなものが出来上がります。

 

斉次方程式微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式の2つの解微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式が1次独立であるための必要十分条件とは以下に示すような行列式が次のように0とならないことになります。

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式

上記の微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式は斉次方程式の1次独立な解であるためこのロンスキアンはある区間内の任意の点微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式において0にならない―
いま微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式を斉次方程式の解とし、ある区間内の任意の点を微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式として一つだけ取ると、

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式の方程式、

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式

を満たす定型数があると考えられるので、

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式

とした場合、先に示した斉次方程式の微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式を用いて、

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式は斉次の解と考えられ、任意の解微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式の1次結合

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式

であるとし、仮に定数微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式の関数と考えて次のような関係式、

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式

であるとするならば次の式、

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式

が1次独立であることを用いて、

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式

斉次の解を上の微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式とすると先ほどの微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式の解と考えられ、

微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式

これは同次方程式の一般解と置くことが考えられます。
微分方程式,高階,線型微分,ロンスキアン,ロンスキー行列式

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