よいこの低学年向け数学ひろば

波動方程式

波動方程式(双曲線偏微分方程式)における境界値の問題を、半区間におけるフーリエ積分表示などを使って解いていくことを考えていきます。

 

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

2階の偏微分方程式における境界値問題【波動方程式】

波動方程式(双曲形偏微分方程式)

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

波動を考える際においてその振動する弦は両端が固定された長さLのものとします。

 

境界条件は、

 

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

さらにここで弦の初期条件とその速度微分を次のように与えます。

初期条件

 

ここで上記の波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元を、距離と時間の2つの変数を含む次のようなもととします。

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

 

(1)式に当てはめれば

変数分離形


変数分離形

これらにより

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

変数分離という作業を行えば、

変数分離形

このような変数分離形を行えば左右それぞれの辺を定数におけるので、その定数を定数ラムダと置くと次のような表現が可能になります。

変数分離形

それぞれの変数に分離できたのでまずはxのほうから考えていきます。

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

次のような条件を考慮します。

境界条件

という条件を満たすものを求めていきます。

 

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元の解で波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元の式を満たすものをは次に示す3つのものがあげられます。

 

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元のとき

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元になるので一般解は、

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

条件より

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

さらに波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元の条件

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

も考慮すれば波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元は0となり意味がありません。

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元のとき

一般解は波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元となるので条件より

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

となります。

 

この場合も再び波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元は0となるので波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元と同じように解として意味がありません。

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元の場合

最後の波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元を実際にやってみると、

 

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

 

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

 

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元


波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

となるのでこの特性方程式は

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

といったような複素解になります。

 

実数部0、虚数部波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元なので特性方程式は

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

条件から

初期条件

初期条件

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元なので

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

ここで波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元であるためには波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

 

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元の場合は波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元の条件を満たす波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元の解として

 

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

 

さらに波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元に関して

 

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

 

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元


意味のある解波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元を代入すれば

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

 

先ほどの結果の波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元を代入すると

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

この方程式の解を求めるために先ほどと同じく特性方程式を導くと

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

実数部0で虚数部が波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元なので、

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

これらの結果をそれぞれ代入すると 考えれば

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

ただし波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元としています。

 

初期変位波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元のときに

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

次に速度微分を考えると

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

ここで式を見やすくするために波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元と置きます。

 

フーリエ級数の半区間の展開において奇関数での拡張を思い出せば

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

これを使えばCとDの定数は以下のようになります。

波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

 

代入すれば、
波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元
波動方程式,解法,導出,微分方程式,微分演算子法,常微分,偏微分,一次元

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