よいこの低学年向け数学ひろば

黒体放射とシュテファンボルツマンの法則

先ほどの黒体放射の公式において、振動数νで表す場合、黒体放射の式は

シュテファン−ボルツマンの法則

と表されます。
この式に対しても波長λにおける黒体放射式と同じようにそのエネルギー密度をシュテファン−ボルツマンの法則として、

シュテファン−ボルツマンの法則

と置きます。


シュテファン−ボルツマンの法則

シュテファン−ボルツマンの法則振動数νでのエネルギー密度

この振動数νでのエネルギー密度を0から∞にわたってνで積分を実行します。

シュテファン−ボルツマンの法則

ここでシュテファン−ボルツマンの法則と置くと、

シュテファン−ボルツマンの法則

シュテファン−ボルツマンの法則

この時νを0から無限大に持って行った場合はxも同じように0から∞にまで移動するので積分範囲は同じになります。
そしてこれらを代入すれば、

シュテファン−ボルツマンの法則

シュテファン−ボルツマンの法則
シュテファン−ボルツマンの法則
シュテファン−ボルツマンの法則

さらに先ほどのシュテファン−ボルツマンの法則を使えば、

シュテファン−ボルツマンの法則

シュテファン−ボルツマンの法則

よって以下のような式が導かれます。

シュテファン−ボルツマンの法則

この関係式をシュテファン・ボルツマンの法則といい、黒体においてその単位面から放射される放射エネルギーが黒体温度の4条に比例するというものになります。

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