よい子の低学年向け数学広場

微分方程式
微分方程式

(1)〜(4)の式をマックスウェル方程式−電磁場の基礎(基本)方程式を言います。

 

さらに(5)(6)の式を補助方程式とします。

 

ちなみに真空の場合は微分方程式
以下では真空場を簡単のために扱うようにします。
(1)〜(4)の方程式を解くことを考えるときに各式において微分方程式が絡んで入っており単純な問題になっておりません。その理由は(1)では微分方程式が与えられると微分方程式が求まります(またはその逆でもよい)。

 

しかし微分方程式微分方程式をつくり、また、

微分方程式

の時間変化は微分方程式の変化を(4)式を経て生じます。

 

そこでMax eqを解く問題は次に示す2つに分類して解くことになります。
  • 第一は微分方程式なる場が与えられたときの微分方程式の分布を求める
  • 第二は微分方程式が与えられたときの微分方程式を求めるときの問題
となります。

 

例として第一の問題としてはブラウン管内の電子ビーム軌跡、電子顕微鏡の電子線、または加速器。
第二の問題は電磁気学の問題として、ある真空管内電場、電子顕微鏡内微分方程式の場。
ここでは第二の問題について考えていくことにしましょう。

 

まず(1)〜(4)の式の中で微分方程式が与えられたときの微分方程式を求めることを考えていきます。

 

 

基本的には連立方程式を求める問題になります。まず、

 

〔未知数の数 = 独立方程式の数〕

 

の確認をします。

 

式は一見すると8個の式があると考えることができます。未知数の数は微分方程式の3個と微分方程式の3個微分方程式であるので計6個となります。

 

(4)式のdivergenceをとると

 

微分方程式

微分方程式

 

微分方程式

微分方程式

これらの両辺を時間で微分すれば、

 

微分方程式

この式においてt=0で定数=0なら条件(初期)をおけば微分方程式でこれはMax eq (2)を満たしています。

 

 

次に(3)式の両辺のdivergenceを作ると

 

微分方程式

 

ここで一般的な電荷保存則、

微分方程式

を用いると、

微分方程式

上式をtで積分すると

微分方程式

 

t=0で、定数=0ととると

微分方程式

これはその後の時刻において常に成立しています。

 

すなわち(1)式は初期条件にほかなりません。

 

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