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無限区間における熱伝導方程式

微分方程式,熱伝導方程式,境界値問題,ガウス積分,ガウシアン,正規分布関数,無限区間

前セクションでは定区間においての一次元熱伝導方程式をやりましたが今度は微分方程式,熱伝導方程式,境界値問題,ガウス積分,ガウシアン,正規分布関数,無限区間について無限に長い場合(無限区間)の方程式を考えてみることにしましょう。

 

初期条件: 微分方程式,熱伝導方程式,境界値問題,ガウス積分,ガウシアン,正規分布関数,無限区間
同じように変数分離を行いそれぞれの定数を微分方程式,熱伝導方程式,境界値問題,ガウス積分,ガウシアン,正規分布関数,無限区間とします。

 

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右辺は微分方程式,熱伝導方程式,境界値問題,ガウス積分,ガウシアン,正規分布関数,無限区間の関数、左辺はxの関数になっていますので、それぞれを定数微分方程式,熱伝導方程式,境界値問題,ガウス積分,ガウシアン,正規分布関数,無限区間とみなして式を作ります。

 

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微分方程式,熱伝導方程式,境界値問題,ガウス積分,ガウシアン,正規分布関数,無限区間について

 

特性方程式は微分方程式,熱伝導方程式,境界値問題,ガウス積分,ガウシアン,正規分布関数,無限区間なので基本解は微分方程式,熱伝導方程式,境界値問題,ガウス積分,ガウシアン,正規分布関数,無限区間

 

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次に微分方程式,熱伝導方程式,境界値問題,ガウス積分,ガウシアン,正規分布関数,無限区間について

 

微分方程式,熱伝導方程式,境界値問題,ガウス積分,ガウシアン,正規分布関数,無限区間を代入すると

 

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これらの結果により

 


上記の定数にはそれぞれの中にが組み込んであるものとしています(単に表記を簡略化しているだけです)。

 

上記の解において、線形結合なのでこれによる重ね合わせもまた解になるということを考えれば

 

 

と表現できます。さらにここでの関数を考えた場合、

 

 

この式が初期条件を満たすようにします。

 

 

ここでのフーリエ積分表示を適用すれば、

 

 

 


 

となるので代入して

 

 


 

ここで収束性というのについて述べるとフーリエ積分とはという範囲において絶対積分可能であり、さらにはこのが有界(※無限に長い棒としていますがで有界という前提)であるというこの2つの条件を満たせば積分順序の交換が可能になります。
そうすると次のようにできます。

 

 

先ほどのセクション(一次元熱伝導方程式)のと違うところは、無限区間(における熱伝導方程式)という前提のためにフーリエ積分になるのであって、そのフーリエ積分という性質のために新しくの部分の計算が必要になってくることです。

 

の計算

まず求める積分をと置きましょう。

 

 

これをで偏微分します。

 

 

この式の右辺に対して部分積分を実行します。部分積分の公式に当てはめれば、それぞれ

 

 

となるので、

 

より、について微分した結果は

 

 

となります。これを利用すればの式における右辺の部分積分は、

 

 


 

という結果より、

 

 

となります。この微分方程式を解いていきます。

 

 

 


 

ここでを見やすいようにただのと置きましょう。

 

すると、

 

 

といった感じになります。

 

次にこの定数について考察してみると、このの変数をとしてについて積分したものなのででてきた積分定数になります。

 

を元に戻せば、

 


 

ここでの式にガウス積分公式が適用できるように積分範囲を広げます。

 

 

上式のガウス積分を実行するために変数変換をします。

 

 

代入すると、

 

 


 

 

よって答えは、

 


 



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