よいこの低学年向け数学ひろば

熱伝導方程式

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

2階の偏微分方程式における境界値問題【熱伝導方程式】

熱伝導方程式(放物形偏微分方程式)
次のような式を考えてみましょう。

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

変数分離を使って、微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式とtの関数として2つに分離します。

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

これを上式に代入すると

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

式の両辺をよく見てみるとそれぞれが微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式だけの関数になっていることがわかります。

 

上式のように微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式を独立に考えても等式が成り立つためには両辺の値が定数であると考えればよいです。

 

 

この定数をそれぞれの式に対して

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

とおくと、

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

という2つの方程式で表せると思います。これを以下に示す条件−

 

境界条件

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

および初期条件

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

のもとにその解を解きます。

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

と考えられるので、

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

という2つの条件をみたすものをまず求めることにします。

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式の解で、微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式を満たすものは次の3種類が考えられます。

 

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式のとき
微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式になるので一般解は、

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

条件より

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

さらには微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式の条件

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

も勘案すれば微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式となり意味がありません。

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式のとき
一般解は、微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式となるので条件より

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

この場合も再び微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式は0となるので微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式と同じように解としては意味がありません。

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式のとき
最後の微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式を実際に計算してみると

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

となるので解は次に示す、

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

というような複素解になります。

 

実数部0、虚数部微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式なので特性方程式は、

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

となり、さらには条件から

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

ここで微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式について考察してみると、このとき微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式の式が成り立つためには微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式でなければなりません。その条件とはサインの性質により

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

でなければならないことがわかります。

 

この結果条件を満たす微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式の解は

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

となり、さらにはこのとき微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式の式は

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

ここで式を見やすくするために微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式とすると

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

同次方程式が出てきたのでこれを解けば

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式の定数を一緒にすれば

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

ここで微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式の重ね合わせ(線形結合)を考え初期条件を満たすようにすると…

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

さらには

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

という条件により、

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

ここで半区間のフーリエ正弦級数を思い出せば

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

これを使えば微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式は次のように表現できます。

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

よって求める解は次のようになります。

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式

 

微分方程式,熱伝導方程式,偏微分方程式放物形,偏微分方程式


nextupprevious

熱伝導方程式関連ページ

波動方程式
波動に関する現象を、フーリエ解析における級数展開やフーリエ積分、さらに偏微分方程式を用いて考察していきます。
無限区間の熱方程式
備忘録のためのいろいろな微分方程式を扱ったサイトです。個人的な趣味の領域でやっているのでかなり脱線した内容もあるかと思いますが、そのへんのところは生あたたかい空気でおながいします。

TOP 常微分方程式 微分演算子法 フーリエ解析 偏微分方程式 特殊関数 応用とかそこらへん