よいこの低学年向け数学ひろば

微分方程式

 


力学の分野において理想的なバネにつながれた物体の振動する様子を示したものを一般的に調和振動子などと言ったりしますが、その調和振動子に量子力学においてよく出てくるシュレーディンガー方程式という式に当てはめていった場合、数式的にどのような振舞を示すかを考察します。

 

微分方程式

シュレーディンガー方程式と呼ばれるものは上に示すようなものでした。
ここで一次元調和振動子におけるポテンシャルエネルギー微分方程式を次のように置きます。
微分方程式

こうすると先に挙げたシュレーディンガー方程式は次のような形になります。

 

微分方程式

 

さらに変形させると次のようになります。

 

微分方程式

 

この微分方程式を解くために座標微分方程式の代わりに微分方程式を用いて変数変換し、さらに微分方程式を使って微分方程式を次のように置きます。

 

微分方程式

 

一次元調和振動子におけるシュレーディンガー方程式の解を求めます。 作用素をチェーンさせ作用素そのものを変化させます。

 

微分方程式

 

微分方程式

微分方程式
微分方程式
微分方程式

 

これらにより2階の作用素は次のように変形できます。

 

微分方程式

これらの結果を使って先ほどのシュレーディンガー方程式を変形させていきます。

 

微分方程式

微分方程式

微分方程式

微分方程式

 

微分方程式

 

という感じで最初に出てきたシュレーディンガー方程式を上に示されるような形に変形させた微分方程式が出てきます。
これの解を求めていくのですが通常のやり方でいくとうまく解が求まりません。そこであるベキ級数を解と仮定する“級数解法”というやり方をしていってこの微分方程式を解いていきます。
解と仮定した微分方程式を次のように置きます。

微分方程式

 

これを次々に微分していきます。

 

微分方程式
微分方程式
微分方程式

 

代入していきます。

微分方程式

微分方程式

微分方程式

微分方程式

 

微分方程式

 

ここでこれの解を次のように置きます。

微分方程式

 

こうすることにより、

微分方程式

微分方程式

よって、

微分方程式

の式は次のようになります。

 

微分方程式

 

さらに変形していきます。
微分方程式
微分方程式
微分方程式

 

代入してまとめます。
微分方程式
微分方程式

 

微分方程式

 

整理すると次のような関係式が求まります。

 

微分方程式

 

これらの結果により分子のほうで微分方程式という条件を付けると微分方程式はゼロになって微分方程式は収束します。
微分方程式によって微分方程式が決定されますがこれが発散されないようにすればよく、微分方程式微分方程式となるために微分方程式

微分方程式

 

より、

微分方程式

微分方程式

 

nは0,1,2、…のように続くのでこのエネルギー単位“E”は微分方程式ごとの均等なレベルで表されることになります。

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