基礎方程式といろんなパラメーター

2つの基礎方程式といろんな宇宙パラメーター


上図におけるPは単位質量とします。この部分に地球から働く力を考えます。 宇宙の原理として、
  • 一様性
  • 等方性
ということを前提に物質分布は球対称、そして運動状態も球対称とすると、Pの質点に働く重力は、

また、密度をρとすれば、

質点の運動方程式は、

これにより宇宙の運動方程式は次のようになります。

今度はを変形させると、

しかし、宇宙は膨張しているので上記式における“a”は変わりますが、宇宙の質量は一定であるということを考慮すると、

宇宙項の導入
宇宙(銀河)が距離に比例して地球から遠ざかっているという事実を何かしらの力なんだと考えてそれをとし、

:比例定数

というのを導入しが共存する宇宙ではを宇宙定数、cを高速とすれば宇宙論の基礎方程式は次のようになります。

さらに宇宙は膨張しているので、

この“a”をスケール因子といいます。

 

宇宙論基礎方程式の変形

宇宙論の基礎方程式を変形させます。
まず両辺にをかけます。

  1. 基礎方程式左辺の変形
  2. 基礎方程式右辺第一項の変形
以上により、

となります。さらに今度はこの式の両辺に対して積分を実行しを掛けます。

整理すると次のようになります。

左辺第一項が運動エネルギーにあたり、第二項が重力ポテンシャルエネルギー、第三項が宇宙のポテンシャルエネルギーにあたります。
さらにこの式の左辺の積分定数を考慮するとこれは古典力学では全エネルギーにあたり、それを相対論的方程式からの結果として次のようにおきます。
  • 運動エネルギー
  • 重力ポテンシャル
  • 宇宙ポテンシャルエネルギー


 

宇宙方程式の現代物理学的な補正

光子の圧力
光には圧力が存在します。単位堆積あたりのものを考えそのなかに光子が存在するものとします。するとまず質量はエネルギーであることの式より

より、

ここで光圧というものが平均エネルギー密度の1/3になるものとします。すると光圧は、

これを代入すれば、

rhoと補正させます。

 

以上より、相対論的な基礎方程式は、


ここで式を変形しそれを時間で微分します。ちなみに式中のの別表記であり、時間(t)微分する場合によく使われます。呼び方はエーのワンドットといいならばと書きエーのツードットといったりします。



   

ここでの式に対してすると、

なのでこれを解いていくと、


  

なので基礎方程式には次のようなものも加わります。

 

(3)式の変形

さらに今度は先ほど出てきた(3)の式を変形してみます。
次のように変形します。



この(#)の式に対してすれば次のような式が導かれます。

 


いろいろな宇宙パラメーター

ハッブルパラメーター

時間tの関数として

ドットはaについての時間微分であり、

現在のハッブルパラメーター = ハッブル定数

 

減速パラメーター

減速係数をqと置きます。

これを変形させると減速パラメーターは次のようになります。

 

密度パラメーター

上記式のを臨界密度(critical density)といいます。
現在値は、

ここで、宇宙論の基本方程式(2)の式を先ほどまでに出てきたパラメーター、

を使って変形させます。


 

といったことにより以下に示す式が導かれます。

→ 三個のうち二個だけ独立している

現在値は。特にのとき、なので、

  • なら、
  • なら、
  • なら、

曲率パラメーター

kで表すもので次のようになります。

この正負の値は任意になります。

現在値 → 

 

宇宙項パラメーター

λで表し次のようになります。

現在値 → 

 


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