よい子の低学年向け数学広場

ゲージ変換と電磁ポテンシャル

微分方程式,ゲージ,マックスウェル,波動方程式,変換,電磁ポテンシャル

 

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(a)、(b)で導出された電磁ポテンシャルは

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実はこれらには本格的な“任意性”が存在します。

 

今、微分可能な任意関数微分方程式,ゲージ,マックスウェル,波動方程式,変換,電磁ポテンシャルがあって

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と置いたとするときこれらを使って

 

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(e)は電磁ポテンシャルを確認する基準(規格)変換式と考えることができるでしょう。

 

今、一組の電磁ポテンシャル微分方程式,ゲージ,マックスウェル,波動方程式,変換,電磁ポテンシャルがあってスカラー関数微分方程式,ゲージ,マックスウェル,波動方程式,変換,電磁ポテンシャルを使って(e)の変換

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をつくり、用いた微分方程式,ゲージ,マックスウェル,波動方程式,変換,電磁ポテンシャルが次の方程式を満たす解であるとします。

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ここで微分方程式,ゲージ,マックスウェル,波動方程式,変換,電磁ポテンシャルを用いると

 

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これより

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この微分方程式,ゲージ,マックスウェル,波動方程式,変換,電磁ポテンシャルを(c)に代入すると

 

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となりまた(d)に代入すると

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Maxwell's eqを解く問題としては、まず(g)(h)で与えられている波動方程式

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を解き得られた微分方程式,ゲージ,マックスウェル,波動方程式,変換,電磁ポテンシャルが(f)のローレンツ条件を満たすことを確認し、そこで(a)(b)の変換式、

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に代入して微分方程式,ゲージ,マックスウェル,波動方程式,変換,電磁ポテンシャルを求めます。

 

さらに補助式、微分方程式,ゲージ,マックスウェル,波動方程式,変換,電磁ポテンシャルから微分方程式,ゲージ,マックスウェル,波動方程式,変換,電磁ポテンシャルを求めます。

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微分方程式,ゲージ,マックスウェル,波動方程式,変換,電磁ポテンシャルならば微分方程式,ゲージ,マックスウェル,波動方程式,変換,電磁ポテンシャル

 

さらに

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より上式両辺のダイバージェンスをとれば

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これにより次のように求まります。

 

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