よいこの低学年向け数学ひろば

K=0の場合

フリードマン,宇宙モデルのとき』
“平らな宇宙”

フリードマン,宇宙モデル

フリードマン,宇宙モデル

フリードマン,宇宙モデル

フリードマン,宇宙モデルの値が必要

一般的な解に代入して計算すると、

フリードマン,宇宙モデル

フリードマン,宇宙モデル

フリードマン,宇宙モデル

これにより、

フリードマン,宇宙モデル

となります。つまりフリードマン,宇宙モデルは時間の2/3乗に比例しています。

フリードマン,宇宙モデル時間の逆数

現在の宇宙年齢はフリードマン,宇宙モデル ここで、

フリードマン,宇宙モデル

として、

フリードマン,宇宙モデル

ただし、フリードマン,宇宙モデルハッブル時間です。
ハッブルの式よりフリードマン,宇宙モデルであり、このD/V(時間)よりも実際は短いのですがフリードマン,宇宙モデルはこれを満たします。

フリードマン,宇宙モデル


previous

previous

 

実際の観測結果との矛盾
古い星の集団で球状星団というのがありそのなかの星の年齢は

球状星団中の星の年齢120億年

つまり、フリードマンモデルにおいてK=0の場合だと宇宙年齢:< 星の年齢≠ニなってしまう宇宙論の年齢問題が生じてしまいます。

K>0の場合

(K=+1)のとき』

により一般的な解は、

こうした場合、体積は有限で曲がった空間 ⇒ ユークリッド幾何学は成り立ちません。
上記の一般的な解における式に関してインテグラルを除いた部分を次のように置きましょう。

更にここで、kはゼロ以上の場合なので+の符号のつく、つまりとなるほうを使います。

ですので次のように置きます。

この(*)式に対して積分を実行します。 まず、を次のように置く変数変換をします。


これを(*)に代入します。



次はこのIの計算を実行しますが今度は更に上記のxをと置く変数変換をします。
ここで注意する点を言うとサインの二乗は、ついついとしたくなりますが、ここでのこのxの微分には合成関数微分法をつかって実行します。

Iに代入します。


ここで今度は先ほどのを代入して積分します。


一般的な解におけるを使えばtは次のようになります。

また、スケール因子は次のようになります。

最後にこのモデルにおいて、先ほどの積分計算に出てきた、さらにはを使って書くと、

となりますがサインの最大値は“1”であるのでの値におけるその最大値をと置けば次のようになります。


K<0の場合

(K=-1)のとき』 今度はkはゼロ以下の場合なので-の符号のつくとなるほうを使います。

と置いて積分を実行します。


ここでさらにxを(シンチまたはハイパボリックサインといいます)と置く変数変換をしこれに対して合成関数微分法によってθで微分すれば、

これらを先ほどの(★)に代入します。


ここからIの積分を実行しますが、中のシンチと呼ばれるものは次のように表せるのです。

右のほうはハイパボリックのコサイン、またはコッシュなどと呼ばれたりするものです。 これの2乗なので実際に計算していくと、



代入します。


よってtは次のようになります。

また、スケール因子は次のようになります。


 

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