微分方程式いろいろ

フーリエ級数展開

微分方程式フーリエ解析

区間微分方程式フーリエ解析における積分可能な関数微分方程式フーリエ解析は次のように展開することが可能です。

微分方程式フーリエ解析

このように表現されるとき、上式の右辺、

 

微分方程式フーリエ解析

 

微分方程式フーリエ解析

 

の部分をフーリエ級数展開といいます。ただし微分方程式フーリエ解析は次のようになります。

 

微分方程式フーリエ解析

 

実際に微分方程式フーリエ解析を求めます。まず、

 

微分方程式フーリエ解析

 

の両辺に微分方程式フーリエ解析をかけて、それを微分方程式フーリエ解析から微分方程式フーリエ解析までを積分します。

 

微分方程式フーリエ解析

 

右辺第一項の計算

微分方程式フーリエ解析

 

微分方程式フーリエ解析なので微分方程式フーリエ解析。よって、

 

微分方程式フーリエ解析

 

次に微分方程式フーリエ解析の導出において三角関数の性質についておさらいします。

 

三角関数の加法定理には以下のような性質があります。
微分方程式フーリエ解析
上記の式を覚えるコツは微分方程式フーリエ解析のほうは“シンコスコッシン”、微分方程式フーリエ解析のほうは“コスコスシンシン”、などとすると覚えやすいです。そして微分方程式フーリエ解析の場合は符号はそのままで、微分方程式フーリエ解析のほうは符号が逆になるということに注意しましょう。 この式において、互いに引き算足し算などをするとさらに次のような式が示されます。

 

微分方程式フーリエ解析

 

こういった性質を使って上記の積分を解いていきます。

 

まず微分方程式フーリエ解析

 

微分方程式フーリエ解析

微分方程式フーリエ解析

 

微分方程式フーリエ解析

 

微分方程式フーリエ解析

 

ちなみに上記の式においては微分方程式フーリエ解析という関係を使っています。

 

つぎに微分方程式フーリエ解析であるならば

 

微分方程式フーリエ解析

微分方程式フーリエ解析

 

微分方程式フーリエ解析

 

微分方程式フーリエ解析

 


微分方程式フーリエ解析

 

この結果により微分方程式フーリエ解析のとき微分方程式フーリエ解析微分方程式フーリエ解析のときだけゼロでない結果がでます。微分方程式フーリエ解析

 

微分方程式フーリエ解析

 

微分方程式フーリエ解析

 

さらに微分方程式フーリエ解析の部分は、

 

微分方程式フーリエ解析
微分方程式フーリエ解析
微分方程式フーリエ解析
微分方程式フーリエ解析
微分方程式フーリエ解析

となり結果はゼロ。ちなみにコサインの偶奇性により微分方程式フーリエ解析

 

こんどは微分方程式フーリエ解析の両辺に微分方程式フーリエ解析をかけて、微分方程式フーリエ解析します。

 

微分方程式フーリエ解析

 

右辺第一項は、微分方程式フーリエ解析なので式自体が消去できます。

 

さらに第2項も、上記のように計算していけば同じように結果は0です。

 

 

微分方程式フーリエ解析

第3項

微分方程式フーリエ解析のとき

 

微分方程式フーリエ解析

微分方程式フーリエ解析
微分方程式フーリエ解析

 

次に微分方程式フーリエ解析のとき

微分方程式フーリエ解析

微分方程式フーリエ解析
微分方程式フーリエ解析
微分方程式フーリエ解析

この結果により、微分方程式フーリエ解析のとき、微分方程式フーリエ解析微分方程式フーリエ解析ときだけゼロでない結果がでます。微分方程式フーリエ解析

 

 

微分方程式フーリエ解析

 

微分方程式フーリエ解析

 

微分方程式フーリエ解析

 

 

具体的な例

次に示す範囲の微分方程式フーリエ解析をフーリエ級数展開してみましょう。

 

微分方程式フーリエ解析

微分方程式フーリエ解析

 

まず求めるものは微分方程式フーリエ解析微分方程式フーリエ解析です。

 

微分方程式フーリエ解析を計算します。

 

微分方程式フーリエ解析

つづいて第2第3項の計算。

 

微分方程式フーリエ解析

微分方程式フーリエ解析

 

微分方程式フーリエ解析

微分方程式フーリエ解析
微分方程式フーリエ解析
微分方程式フーリエ解析
微分方程式フーリエ解析


よって微分方程式フーリエ解析のフーリエ級数変換は、
微分方程式フーリエ解析
微分方程式フーリエ解析
微分方程式フーリエ解析
微分方程式フーリエ解析
微分方程式フーリエ解析
微分方程式フーリエ解析


となります。

 

非常に単純に示した

 

微分方程式フーリエ解析

 

のようなモデルからなぜ上記のような式が出てくるのかと考え込む方が多いと思いますが、まぁそこはあまり深く考えずにこういうものなんだと軽く受け止めてください。

 

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