微分方程式いろいろ

フーリエ変換とデルタ関数

微分方程式,フーリエ変換

まずある関数微分方程式,フーリエ変換を考え、ここで微分方程式,フーリエ変換を虚数単位とすると 微分方程式,フーリエ変換のフーリエ積分表示は、

 

微分方程式,フーリエ変換

このときの 微分方程式,フーリエ変換微分方程式,フーリエ変換のフーリエ変換といい、具体的には次のように書きます。

 

微分方程式,フーリエ変換

 

デルタ関数

ここでデルタ関数というものを導入し考察してみましょう。このデルタ関数というのは微分方程式,フーリエ変換、つまり微分方程式,フーリエ変換以外の場所においての値はすべて0で、微分方程式,フーリエ変換でのみその値が∞となり、かつその面積が“1”になると定義されるちょっと変わった関数です。

 

微分方程式,フーリエ変換

 

デルタ関数のその他の表し方:フーリエ積分表示
ある3次元空間(P空間)において次のように表現される関数

 

微分方程式,フーリエ変換

を考えこれに対して微分方程式,フーリエ変換などを作用させ変形していきます。

 

微分方程式,フーリエ変換

 

微分方程式,フーリエ変換

これの積分領域を全空間として表示すると次にようになります。

 

微分方程式,フーリエ変換

ここで微分方程式,フーリエ変換空間の極座標に変換します。ただし微分方程式,フーリエ変換軸を微分方程式,フーリエ変換の方向になるようにとればその微小部分のヤコビアンは

微分方程式,フーリエ変換

またドットプロダクトの基本定理により

微分方程式,フーリエ変換

これらを利用して代入すれば次のようになります。

微分方程式,フーリエ変換

まず変数変換として微分方程式,フーリエ変換と置き、これをθ微分方程式,フーリエ変換で微分すれば 変数変換微分方程式,フーリエ変換となるのでこれを代入します。

 

微分方程式,フーリエ変換

微分方程式,フーリエ変換
微分方程式,フーリエ変換
微分方程式,フーリエ変換

 

ここで三角関数の性質

微分方程式,フーリエ変換

微分方程式,フーリエ変換

により、

微分方程式,フーリエ変換

 

これを代入すれば、

 

微分方程式,フーリエ変換

微分方程式,フーリエ変換

さらにここで次のような公式

 

微分方程式,フーリエ変換

 

を使えば、

 

微分方程式,フーリエ変換


微分方程式,フーリエ変換
微分方程式,フーリエ変換
微分方程式,フーリエ変換

 

よって式は次のようになります。
微分方程式,フーリエ変換

微分方程式,フーリエ変換


微分方程式,フーリエ変換

 

微分方程式,フーリエ変換

 

微分方程式,フーリエ変換

 

これにより一次元でのデルタ関数は次のようになります。

一次元でのデルタ関数

 

微分方程式,フーリエ変換

デルタ関数を使ったフーリエ変換式の求め方

今ここでこのデルタ関数一次元でのデルタ関数において微分方程式,フーリエ変換方向に微分方程式,フーリエ変換だけ水平移動させたとすればデルタ関数 一次元でのデルタ関数は、

 

微分方程式,フーリエ変換


これを使えば先ほどの一次元デルタ関数は次のように表現できます。

 

微分方程式,フーリエ変換

 

関数微分方程式,フーリエ変換において区間微分方程式,フーリエ変換との積は、

微分方程式,フーリエ変換

これを微分方程式,フーリエ変換から微分方程式,フーリエ変換において積分を実行すれば、

 

微分方程式,フーリエ変換

 

(簡単にいうと非常に小さい区間においての長方形の面積を求めているといった感じで考えてください)

 

代入します。

 

微分方程式,フーリエ変換

微分方程式,フーリエ変換
微分方程式,フーリエ変換
微分方程式,フーリエ変換
  微分方程式,フーリエ変換
微分方程式,フーリエ変換

 

見てわかるように上記式変形中において出てきた下部鍵括弧のなかのものは最初に示したフーリエ変換式です。そして右辺の一番最後に出てきた式をフーリエ逆変換の式といいます。

微分方程式,フーリエ変換

 

ではいったい何のためにこんなめんどくさいことをするのか?
簡単に言えば、実際の現象を微分方程式などに置き換えた場合、その因果律を導き出すことは簡単なことではありません(むしろ解けないことのほうが多い)。

 

そこでこのフーリエ変換という技法を使うとその現象がわかりやすくなるという利点があります。

 

例)例えばつぎに示すような方程式があったとします。

 

微分方程式,フーリエ変換

 

これに対して実際にフーリエ変換してみると、

 

微分方程式,フーリエ変換

微分方程式,フーリエ変換

微分方程式,フーリエ変換


微分方程式,フーリエ変換

このようにxの世界の現象がPの世界の現象に置き換わっています。そうすると今までxの世界で見ていた場合わかりずらかったものが、Pに置き換わることで見通しが明るくなり、その現象がわかりやすくなるという利点があるからです。

 

具体的な例

次に示すような波形を考えます。

 

微分方程式,フーリエ変換

 

とすればフーリエ変換の式は次のようになります。

 

微分方程式,フーリエ変換

微分方程式,フーリエ変換

これを実際に計算します。

 

微分方程式,フーリエ変換
微分方程式,フーリエ変換
微分方程式,フーリエ変換
微分方程式,フーリエ変換
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微分方程式,フーリエ変換
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微分方程式,フーリエ変換
微分方程式,フーリエ変換

 

出てきた式を見ればわかるように先ほどのxの世界のものがkだけの式に置き換わっています。こうすることにより今まではわかりずらかった現象がフーリエ変換を施すことによって見通しがよくなったりします。

 

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