微分方程式いろいろ

フーリエ積分

微分方程式,フーリエ積分

 

周期的ではない関数があったとします。このとき:周期微分方程式,フーリエ積分微分方程式,フーリエ積分と考えることが出来るかと思います。
こういったとき、フーリエ級数はフーリエ積分とよばれるものになります。

微分方程式,フーリエ積分

ただし

微分方程式,フーリエ積分

 

であり、実際に代入してみると、

 

微分方程式,フーリエ積分

 

微分方程式,フーリエ積分

 

ここで

 

微分方程式,フーリエ積分

 

より

 

微分方程式,フーリエ積分

 

これをフーリエ積分公式などといったりします。

 

熱伝導方程式を解く際に、この上記の公式に例えば乗数に変数微分方程式,フーリエ積分のついた微分方程式,フーリエ積分が一緒にある場合の計算が必要になります。

 

 

微分方程式,フーリエ積分の求め方

まず積分順序を変更します。この場合、微分方程式,フーリエ積分が有界かつ絶対積分可であるならば積分順序の変換が可能です。

 

微分方程式,フーリエ積分

微分方程式,フーリエ積分

 

このときの微分方程式,フーリエ積分について考えて見ましょう。 例えば、次のような場合の積分を解く方法を詳しくやります。

 

微分方程式,フーリエ積分

 

まず求める積分を微分方程式,フーリエ積分と置きます。

 

微分方程式,フーリエ積分

 

これをまず微分方程式,フーリエ積分で微分してみましょう。

 

微分方程式,フーリエ積分

 

ここで、

 

微分方程式,フーリエ積分

 

という関係を利用して部分積分をすると、

微分方程式,フーリエ積分

微分方程式,フーリエ積分
微分方程式,フーリエ積分
微分方程式,フーリエ積分
微分方程式,フーリエ積分

微分方程式,フーリエ積分

 

次にこの微分方程式の解を求めます。

微分方程式,フーリエ積分

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微分方程式,フーリエ積分
微分方程式,フーリエ積分


微分方程式,フーリエ積分

微分方程式,フーリエ積分

次にこの積分定数微分方程式,フーリエ積分を求めます。この微分方程式,フーリエ積分という積分定数は微分方程式,フーリエ積分の変数を微分方程式,フーリエ積分として微分方程式,フーリエ積分微分方程式,フーリエ積分について積分したものなので出てきた積分定数微分方程式,フーリエ積分微分方程式,フーリエ積分であり、

 

微分方程式,フーリエ積分

 

微分方程式,フーリエ積分

 

ここで微分方程式,フーリエ積分なので、

微分方程式,フーリエ積分

微分方程式,フーリエ積分

上記式のξの積分を求めるためにはまず積分範囲を広げて(微分方程式,フーリエ積分軸を対称に広がっているため)

 

微分方程式,フーリエ積分

 

微分方程式,フーリエ積分についての変数変換を実行するために微分方程式,フーリエ積分と置きます。

 

微分方程式,フーリエ積分

 

微分方程式,フーリエ積分

 

これを代入すれば、

微分方程式,フーリエ積分

微分方程式,フーリエ積分

微分方程式,フーリエ積分

微分方程式,フーリエ積分

 

よって求める積分の値は

 

微分方程式,フーリエ積分

微分方程式,フーリエ積分


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