微分方程式いろいろ

フーリエ正弦級数とフーリエ余弦級数

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微分方程式,フーリエ解析余弦級数展開,正弦級数展開,フーリエ変換,フーリエ積分,熱伝導方程式,サイン,コサイン微分方程式,フーリエ解析余弦級数展開,正弦級数展開,フーリエ変換,フーリエ積分,熱伝導方程式,サイン,コサインのグラフを見ればわかるように、Y軸を中心に考えるとそれぞれが左右対称と非対称に分かれています。

 

こうした場合、その遇奇性により微分方程式,フーリエ解析余弦級数展開,正弦級数展開,フーリエ変換,フーリエ積分,熱伝導方程式,サイン,コサイン微分方程式,フーリエ解析余弦級数展開,正弦級数展開,フーリエ変換,フーリエ積分,熱伝導方程式,サイン,コサインなので遇関数、微分方程式,フーリエ解析余弦級数展開,正弦級数展開,フーリエ変換,フーリエ積分,熱伝導方程式,サイン,コサイン微分方程式,フーリエ解析余弦級数展開,正弦級数展開,フーリエ変換,フーリエ積分,熱伝導方程式,サイン,コサインなので奇関数であるといえます。つまり求めるフーリエ級数展開において微分方程式,フーリエ解析余弦級数展開,正弦級数展開,フーリエ変換,フーリエ積分,熱伝導方程式,サイン,コサインが遇関数、または奇関数のどちらか一方であったならばそのフーリエ級数微分方程式,フーリエ解析余弦級数展開,正弦級数展開,フーリエ変換,フーリエ積分,熱伝導方程式,サイン,コサインのそれぞれのどちらか一方が微分方程式,フーリエ解析余弦級数展開,正弦級数展開,フーリエ変換,フーリエ積分,熱伝導方程式,サイン,コサインになります。

 

例えば、関数微分方程式,フーリエ解析余弦級数展開,正弦級数展開,フーリエ変換,フーリエ積分,熱伝導方程式,サイン,コサインが遇関数微分方程式,フーリエ解析余弦級数展開,正弦級数展開,フーリエ変換,フーリエ積分,熱伝導方程式,サイン,コサインであるとし 微分方程式,フーリエ解析余弦級数展開,正弦級数展開,フーリエ変換,フーリエ積分,熱伝導方程式,サイン,コサインに拡張し周期微分方程式,フーリエ解析余弦級数展開,正弦級数展開,フーリエ変換,フーリエ積分,熱伝導方程式,サイン,コサインの周期関数にすると、この周期関数のフーリエ級数展開は次のようになります。

 

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これをフーリエ余弦展開といいます。

 

さらには、微分方程式,フーリエ解析余弦級数展開,正弦級数展開,フーリエ変換,フーリエ積分,熱伝導方程式,サイン,コサインが奇関数ならば今度は微分方程式,フーリエ解析余弦級数展開,正弦級数展開,フーリエ変換,フーリエ積分,熱伝導方程式,サイン,コサイン微分方程式,フーリエ解析余弦級数展開,正弦級数展開,フーリエ変換,フーリエ積分,熱伝導方程式,サイン,コサインとなってしまうので周期微分方程式,フーリエ解析余弦級数展開,正弦級数展開,フーリエ変換,フーリエ積分,熱伝導方程式,サイン,コサインのフーリエ級数展開はサイン項だけが残ります。よって、

 

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となります。これをフーリエ正弦展開といいます。

 

実際に上記に述べたやり方で微分方程式,フーリエ解析余弦級数展開,正弦級数展開,フーリエ変換,フーリエ積分,熱伝導方程式,サイン,コサインをフーリエ展開してみましょう。
グラフからわかるように微分方程式,フーリエ解析余弦級数展開,正弦級数展開,フーリエ変換,フーリエ積分,熱伝導方程式,サイン,コサインは遇関数ですので微分方程式,フーリエ解析余弦級数展開,正弦級数展開,フーリエ変換,フーリエ積分,熱伝導方程式,サイン,コサインとなります。まず微分方程式,フーリエ解析余弦級数展開,正弦級数展開,フーリエ変換,フーリエ積分,熱伝導方程式,サイン,コサインから計算していくと、

 

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よってフーリエ級数展開は、

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