微分方程式いろいろ

フーリエ解析


微分方程式,フーリエ解析,フーリエ変換,フーリエ積分,フーリエ変換

フーリエ解析というのはフーリエという人が考え出した数学であり、もともとは熱の研究をしているときに熱伝導における数学的な記述を偏微分方程式により導き、その解を求めるためにこのフーリエ級数という理論的概念を構築したのが始まりだといわれています。

 

そしてそのフーリエ自信は「任意の(すべての)周期関数は三角関数の和として表せる」と主張していたようですが、実際にこの主張は大まかに正しいといわれております(フーリエ自信は証明はしてないそうです)。
現在にいたっては物理学を中心にしたさまざまな方面の利用、特に画像処理やデータ圧縮、CT、MRIなどの現代科学の基礎技術としてこの数学はおおいに役立っているようです。
このチャプターでは関数の級数展開を微分方程式,フーリエ解析,フーリエ変換,フーリエ積分,フーリエ変換微分方程式,フーリエ解析,フーリエ変換,フーリエ積分,フーリエ変換などの三角関数を使った展開を考えてみることにしましょう。

 

next up previous

フーリエ解析記事一覧

フーリエ級数展開

区間における積分可能な関数は次のように展開することが可能です。このように表現されるとき、上式の右辺、の部分をフーリエ級数展開といいます。ただしは次のようになります。実際にを求めます。まず、の両辺にをかけて、それをからまでを積分します。右辺第一項の計算なので。よって、次にの導出において三角関数の性質に...

≫続きを読む

フーリエ余弦級数展開とフーリエ正弦級数展開

とのグラフを見ればわかるように、Y軸を中心に考えるとそれぞれが左右対称と非対称に分かれています。こうした場合、その遇奇性によりはなので遇関数、はなので奇関数であるといえます。つまり求めるフーリエ級数展開においてが遇関数、または奇関数のどちらか一方であったならばそのフーリエ級数のそれぞれのどちらか一方...

≫続きを読む

フーリエ積分

周期的ではない関数があったとします。このとき:周期と考えることが出来るかと思います。こういったとき、フーリエ級数はフーリエ積分とよばれるものになります。ただしであり、実際に代入してみると、ここでよりこれをフーリエ積分公式などといったりします。熱伝導方程式を解く際に、この上記の公式に例えば乗数に変数の...

≫続きを読む

フーリエ変換

まずある関数を考え、ここでを虚数単位とすると のフーリエ積分表示は、このときの を のフーリエ変換といい、具体的には次のように書きます。デルタ関数ここでデルタ関数というものを導入し考察してみましょう。このデルタ関数というのは、つまり以外の場所においての値はすべて0で、でのみその値が∞となり、かつその...

≫続きを読む


TOP 常微分方程式 微分演算子法 フーリエ解析 偏微分方程式 特殊関数 応用とかそこらへん