微分方程式いろいろ

微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃

 



 

“コリオリ”というのは地球が回転することによっておこる見かけの運動力を、回転座標上で移動したときの移動方向と垂直な方向に受ける慣性力の一種を数式で表現したものになります。

 

 

実際の現象で有名なのは台風の回転する向きなどで、それ以外には射程数キロをこえるような長距離狙撃などを行う場合はこのコリオリ力の影響を考慮する必要があり、よくマンガやアニメなどでその題材にされることもあるようです。
machanics

以下の数式は回転座標系における見かけの運動力も考慮した運動方程式になります。

微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃

右辺第2項と第3項にあるのがその見かけの運動力を示す部分になり、2項と3項の間にあるバッテンは掛け算のバッテンではなく外積(クロスプロダクト)の表示です。この外積に関しての説明はこちらのサイトを参照してみてください。 今回は具体的にその弾道計算を代数的にやってみようと思います。

地球の回転速度

微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃
左の図のように地球に見立てた球体の北半球側の角度(緯度)を微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃で表しその角度における地表面の点を微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃点、図のように地球の中心点から微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃点を通りその鉛直方向に延びる向きを微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃軸、そして南極点に向かう方向で微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃軸とは直角方向の向きをx軸、そして東の方向(回転する方向)のzx軸の両方ともから直角の回転方向へ向かう軸をy軸とします。
さらに地球の回転速度(自転速度)をomega large imgと表します。

 

三角関数などを使って三方向の角速度を表せば次のようになります。

微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃



ここで外積の部分、

微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃

を具体的に計算していきます。

微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃

微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃


よって三方向それぞれの式は、

微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃

微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃


微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃

微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃


微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃

微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃


微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃を消してライプニッツ表記にしてまとめると次のような式が求められます。

微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃

微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃


上記の式だと2階微分の項が入っているので積分を行って階数を一つ減らしてみます。

 

一回積分します。

微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃

微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃


加速度成分に関して一度積分していますので出てきたx方向における弾丸の初速度と考えられるので上記のようにVxと表します。

 

次にy ddotに対しても同様に計算をしていきます。

微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃

微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃


z ddotに対しても同様に一回積分します。

微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃

微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃


ここでv_z large imgの成分ですが本来銃弾の射出においては照星を基準にして(標的までの距離を基準にして)照門の位置を上下にずらして弾丸を上方に向けて撃つものなのですが、ここではあくまでx y small img軸に水平に射出するものと仮定するのでそれを無視します。
なのでここではv_z eq 0とします。

微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃

これらの連立微分方程式を解いていきますが、元の式をよく見てみると微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃の式の中にxzのそれぞれの一階微分の項が入ってるのでこれに代入して連立方程式のように計算していったほうがよさそうなのでそのままやっていきます。
微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃

微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃
微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃
微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃


結果的に次のような連立微分方程式を解いていくことにします。

微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃

微分方程式,コリオリ,ロンスキアン,狙撃

nextupprevious

長射程弾道軌道計算@関連ページ

長射程弾道軌道計算B
備忘録のためのいろいろな微分方程式を扱ったサイトです。個人的な趣味の領域でやっているのでかなり脱線した内容もあるかと思いますが、そのへんのところは生あたたかい空気でおながいします。
長射程弾道軌道計算A
備忘録のためのいろいろな微分方程式を扱ったサイトです。個人的な趣味の領域でやっているのでかなり脱線した内容もあるかと思いますが、そのへんのところは生あたたかい空気でおながいします。
コリオリの力
備忘録のためのいろいろな微分方程式を扱ったサイトです。個人的な趣味の領域でやっているのでかなり脱線した内容もあるかと思いますが、そのへんのところは生あたたかい空気でおながいします。

TOP 常微分方程式 微分演算子法 フーリエ解析 偏微分方程式 特殊関数 応用とかそこらへん