2013年11月25日

長距離射撃におけるコリオリ弾軌道計算

コリオリの力とは

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ


 

8月18日の記事、“コリオリと軽火器の話”において長距離射撃におけるコリオリ力の影響について簡単に説明しました。

 

重複しますがこの“コリオリ”というのは地球が回転することによっておこる見かけの運動力を、回転座標上で移動したときの移動方向と垂直な方向に受ける慣性力の一種を数式で表現したものになります。
実際の現象で有名なのは台風の回転する向きなどで、それ以外には射程数キロをこえるような長距離狙撃などを行う場合はこのコリオリ力の影響を考慮する必要があり、よくマンガやアニメなどでその題材にされることもあるようです。

 

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ


 

以下の数式は回転座標系における見かけの運動力も考慮した運動方程式になります。

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

右辺第2項と第3項にあるのがその見かけの運動力を示す部分になりますが2項と3項の間にあるバッテンは、掛け算のバッテンではなく外積(クロスプロダクト)の表示です。この外積に関しての説明はこちらのサイトを参照してみてください。
前回の記事ではコリオリの力の説明のみで、実際の弾道計算などの内容はなかったので今回は具体的にその弾道計算を代数的にやってみようと思います。
ちなみに数学関連の記事はこちらのmathematical.jpでやると決めていますが、最初のコリオリをテーマにした話はこちらのブログで行っているのでこっちのほうにUPします。

 

またドメインの関係とかその他いろいろな理由で数学関連のブログをたまにこっちでやるかもしれません…
ブログ更新ちょっと息切れしてきたかもしれないというのは ひ・み・つ・ニ・ダ (by 滝クリ風)

地球の回転角速度

 

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

 

左の図のように地球に見立てた球体の北半球側の角度(緯度)をgammaで表しその角度における地表面の点を点、図のように地球の中心点から点を通りその鉛直方向に延びる向きをz軸、そして南極点に向かう方向でz軸とは直角方向の向きをx軸、そして東の方向(回転する方向)のzx軸の両方ともから直角の回転方向へ向かう軸をコリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ軸とします。
さらに地球の回転速度(自転速度)をomegaと表します。

 

三角関数などを使って三方向の角速度を表せば次のようになります。

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ


ここで外積の部分、

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

を具体的に計算していきます。 コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ
コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

よって三方向それぞれの式は、
コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

 

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

 

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

 

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリを消してライプニッツ表記にしてまとめると次のような式が求められます。

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ



上記の式だと2階微分の項が入っているためこのままこの連立微分方程式を解いていくのはちょっときつそうなので積分を行って階数を一つ減らしてみます。

 

一回積分します。

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

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加速度成分に対して一度積分していますので出てきた積分定数はコリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ方向における弾丸の初速度と考えられるので上記のようにコリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリと表します。

 

次にコリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリに対しても同様に行います。

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリに対しても同様に一回積分します。

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

ここでコリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリの成分ですが本来銃弾の射出においては照星を基準にして(標的までの距離を基準にして)照門の位置を上下にずらして弾丸を上方に向けて撃つものなのですが、ここではあくまでコリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ軸に水平に射出するものと仮定するのでそれを無視します。コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリとします。

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

これらの連立微分方程式を解いていきますが、最初はなかなかうまく計算できずテンパっていたんですが、ちょっとおちついて元の式をよく見てみるとコリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリの式の中にコリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリコリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリのそれぞれの一階微分の項が入ってるのでこれに代入して連立方程式のように計算していったほうがよさそうなのでそのままやっていきます。

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コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ
コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ
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結果的に次のような連立微分方程式を解いていくことにしますた…

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

まずコリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリの式を計算していきます。 微分演算子法を使用した計算を行うために次のように置きます。

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

この微分方程式を解いていきます。

 

まず右辺の項が0とみなした解を求めます。
上の式を次のように置きます。

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

右の式を解いていきます。

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

よって解はコリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリの二つになるので積分定数をそれぞれコリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリと置けば一般解は次のようになります。

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

 

次に特殊解を求めます。

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

 

より

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

 

微分演算子法による特殊解の解法になりますがこのままだと計算ができないので右辺の分母の作用素を部分分数分解をおこなって計算できるように変形していきます。

 

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

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まず最初にコリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリの中の作用素を二つに分けて計算していきます。

 

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同様にして
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コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ
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コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ
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特解なので解をまとめると

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

時間で一階微分すると

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軽火器(アサルトライフル)による射撃を想定しているのでコリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリコリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリと考えられるので、

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

さらに速度の式に関しても同様に考えられるので、

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

これらの結果により積分定数コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリは次のようなものと考えることができます。

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

代入しまとめます。

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コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

微分すると、

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コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリの解をコリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリの式に代入します。

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ
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今度はこの式を積分します。

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

 

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

 

次にzの式。

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コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ
コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

ここででてきた積分定数コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリは高さコリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリと置きます。

 

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

 

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリの式を積分して出てきたコリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリは射出点をx軸とy軸に関して0点に考えているのでコリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリとして考えていいかも

 

なのでまとめると、

コリオリ,軽火器,突撃銃,アサルトライフル,ガスパール=ギュスターヴ・コリオリ

この結果はあくまで簡略化した運動方程式を計算していったものなので厳密に行う場合の弾道軌道計算解とは違うですし、連立微分方程式の因果律はあっていますが最初の方程式の組み立て方にも少なからず間違いがある可能性もあると思いますので、その辺のところは大目に見てください。ちなみに明確なミスが見つかったときは謝罪いたしますが賠償は… し・な・い・ニ・ダ・<*`ω´*>ブヒッ (だから滝クリ風なんだってば!!)

通常の射撃と長距離狙撃の違い

康桂善

普通の感覚の人だと狙撃というのは、スコープにうつる標的に照準を合わせて、そしてその目標めがけて撃つようなイメージがありますが、実際には銃の性能や風向風圧重力などによる影響、さらには射撃範囲が数キロに及ぶ場合には上に計算したような地球の自転による見かけの力、“コリオリの力”を考慮しなければなりません。

 

一般的な人の場合は、たとえば左のイメージのようにスコープを覗いたとき標的となり得るべくターゲットの中心線の部分(左の絵の場合はニダーの脳天)にきちんと狙いを定めて撃つものだと考えている人が大部分だと思いますが、実際には弾丸の動きを的確に考慮(予想)して照準の位置をずらして射撃するような格好になります。

 

 

つまり長距離狙撃においては弾丸を“標的に照準を合わせて撃つ”、のではなく、弾丸を“目標とする標的に持っていかせる”、といった感覚で行うものだと言ったほうがより正しい言い方になるかもしれません。
例えば狙撃ポイントが新宿の新大久保か、または大阪の生野区のような北半球の極でもなく赤道付近でもない中緯度付近(角度γ)における射撃、しかもその射撃距離が数キロにわたる場合においては、かなり大雑把な言い方にはなりますが上の左の絵(AA)ような標的に照準を合わせるのではなく、右の絵のように標的から左上あたりのポイントをねらって撃つことになります。

康桂善


また、上の3式を見てもわかるようにすべての式に細かく緯度(角度γ)が与えられ、それぞれの式にはいくつもの要素が絡み合っており、そのため弾丸を射出する緯度や方向によっても様々な結果が導かれることになります。

 

nextupprevious

おながいします(・ω・)

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