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定係数2階同次微分方程式

 

 

定係数2階同次微分方程式

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2階のある微分方程式

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を考えてみましょう。
いま、仮に上式のyブラックショールズ,微分積分,微分方程式,解の公式,判別法,基本解,重根,複素共役,特性方程式,同次微分方程式,定係数が解であるとしましょう。これを実際に代入してみると、

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これを特性方程式といいます。
ここで高校で習った解の公式という奴をブラックショールズ,微分積分,微分方程式,解の公式,判別法,基本解,重根,複素共役,特性方程式,同次微分方程式,定係数に使ってみると、

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判別法というのを出してみるとブラックショールズ,微分積分,微分方程式,解の公式,判別法,基本解,重根,複素共役,特性方程式,同次微分方程式,定係数ですが、これによって解の種類が3種類ほどに分別できます。
(1)ブラックショールズ,微分積分,微分方程式,解の公式,判別法,基本解,重根,複素共役,特性方程式,同次微分方程式,定係数のとき
解は異なる2つの実数の解ブラックショールズ,微分積分,微分方程式,解の公式,判別法,基本解,重根,複素共役,特性方程式,同次微分方程式,定係数となり、基本解は

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さらに一般解は

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(2)ブラックショールズ,微分積分,微分方程式,解の公式,判別法,基本解,重根,複素共役,特性方程式,同次微分方程式,定係数のとき(重根と呼ばれブラックショールズ,微分積分,微分方程式,解の公式,判別法,基本解,重根,複素共役,特性方程式,同次微分方程式,定係数のときに起こります)
解は重解となります。ブラックショールズ,微分積分,微分方程式,解の公式,判別法,基本解,重根,複素共役,特性方程式,同次微分方程式,定係数
この場合、この特性方程式の根はブラックショールズ,微分積分,微分方程式,解の公式,判別法,基本解,重根,複素共役,特性方程式,同次微分方程式,定係数ですが、簡単に基本解が同じもの2つということにはなりません。n階の微分方程式にはn個の任意定数を含むn個の解が必要です。つまりブラックショールズ,微分積分,微分方程式,解の公式,判別法,基本解,重根,複素共役,特性方程式,同次微分方程式,定係数に対して線形独立なもう一つの解を求めなければなりません。
その2つ目の解を仮にブラックショールズ,微分積分,微分方程式,解の公式,判別法,基本解,重根,複素共役,特性方程式,同次微分方程式,定係数と置きましょう。
するとブラックショールズ,微分積分,微分方程式,解の公式,判別法,基本解,重根,複素共役,特性方程式,同次微分方程式,定係数ブラックショールズ,微分積分,微分方程式,解の公式,判別法,基本解,重根,複素共役,特性方程式,同次微分方程式,定係数となります。これをブラックショールズ,微分積分,微分方程式,解の公式,判別法,基本解,重根,複素共役,特性方程式,同次微分方程式,定係数式に代入してみると、ブラックショールズ,微分積分,微分方程式,解の公式,判別法,基本解,重根,複素共役,特性方程式,同次微分方程式,定係数
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さらに今度はこのでてきた式を2回積分します。

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ブラックショールズ,微分積分,微分方程式,解の公式,判別法,基本解,重根,複素共役,特性方程式,同次微分方程式,定係数となりますが、ここでもとめているのはブラックショールズ,微分積分,微分方程式,解の公式,判別法,基本解,重根,複素共役,特性方程式,同次微分方程式,定係数とは違う独立な解を求めることなのでこれを単に、ブラックショールズ,微分積分,微分方程式,解の公式,判別法,基本解,重根,複素共役,特性方程式,同次微分方程式,定係数と置きましょう。そうすると、

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となります。
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一般解は、

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となります。
(3)ブラックショールズ,微分積分,微分方程式,解の公式,判別法,基本解,重根,複素共役,特性方程式,同次微分方程式,定係数のとき
このとき解は実数と、それ以外に虚数と呼ばれるものがミックスされた複素共役と呼ばれるものになります。
汎用ブラックショールズモデルを導く際にはこのときの解を用います。
根は

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といったものになり、基本解は次のようになります。

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実数がブラックショールズ,微分積分,微分方程式,解の公式,判別法,基本解,重根,複素共役,特性方程式,同次微分方程式,定係数に対応し虚数側がブラックショールズ,微分積分,微分方程式,解の公式,判別法,基本解,重根,複素共役,特性方程式,同次微分方程式,定係数といった三角関数のほうに対応しています。

 

特性方程式は次のようになります。

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ちなみに虚数ブラックショールズ,微分積分,微分方程式,解の公式,判別法,基本解,重根,複素共役,特性方程式,同次微分方程式,定係数ブラックショールズ,微分積分,微分方程式,解の公式,判別法,基本解,重根,複素共役,特性方程式,同次微分方程式,定係数といった性質を持っています。
【例題】
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【答え】
まず特性方程式を作ります。

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因数分解が出来ないのでこれは解の公式を使って求めます。

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となるので基本解はブラックショールズ,微分積分,微分方程式,解の公式,判別法,基本解,重根,複素共役,特性方程式,同次微分方程式,定係数
一般解はブラックショールズ,微分積分,微分方程式,解の公式,判別法,基本解,重根,複素共役,特性方程式,同次微分方程式,定係数 となります。
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