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偏微分

 

 

偏微分


○1つの式の中に2つの変数がある場合の関数ブラックショールズ,微分積分,偏微分,偏導関数,偏微分方程式,ラウンド,2変数,3変数を考えてみましょう。
変数は2つあるので、このときの微分の仕方には次の2種類あります。

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これを偏微分、または偏導関数といい、“ブラックショールズ,微分積分,偏微分,偏導関数,偏微分方程式,ラウンド,2変数,3変数”は分母にある変数で偏微分せよという意味の記号です。一般的には“ラウンド”などという呼び方をします。

 

計算法はとくに難しく考えるまでもなく、xで偏微分するときはx以外の変数は定数だとして普通に微分すればよいだけです。
たとえば次のような2変数関数について、xとyのそれぞれに偏微分を行ってみましょう。

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xについての偏微分は

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yについては、

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となります。
【問題】
次に示す3変数関数についてそれぞれの変数に関しての偏微分を行ってみましょう。

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【答え】

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(解終)

・高階の偏導関数

ブラックショールズ,微分積分,偏微分,偏導関数,偏微分方程式,ラウンド,2変数,3変数を1回偏微分すると、2通りの結果が出ることをやりました。
次は2回目、さらにはそれ以上の偏微分を繰り返していった場合、どういう結果が出るかを考察してみましょう。
先ほどのブラックショールズ,微分積分,偏微分,偏導関数,偏微分方程式,ラウンド,2変数,3変数を2回偏微分すると、

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この4通りがあることがわかると思います。さらに3回目の微分をすれば8通り、つまりブラックショールズ,微分積分,偏微分,偏導関数,偏微分方程式,ラウンド,2変数,3変数個の結果が出ます。

 

また、ブラックショールズ,微分積分,偏微分,偏導関数,偏微分方程式,ラウンド,2変数,3変数の3変数関数に対して2回の偏微分をすれば、次のような結果

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という、ブラックショールズ,微分積分,偏微分,偏導関数,偏微分方程式,ラウンド,2変数,3変数通りの結果が現れ、また、さらに3回目の微分を行えばブラックショールズ,微分積分,偏微分,偏導関数,偏微分方程式,ラウンド,2変数,3変数通りの結果が出てきます。

 

実際に2階偏導関数の計算を行ってみましょう。
【問題】
次に示す2変数関数の2階偏導関数を求めてみましょう。

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【答え】

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なので、次はそれぞれをさらに微分していきましょう。

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(解終)

気づかれているようにブラックショールズ,微分積分,偏微分,偏導関数,偏微分方程式,ラウンド,2変数,3変数ブラックショールズ,微分積分,偏微分,偏導関数,偏微分方程式,ラウンド,2変数,3変数は結果が同じです。
これは偶然などではなく微分する順番に関係なく結果が同じになるということです。

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ブラックショールズ,微分積分,偏微分,偏導関数,偏微分方程式,ラウンド,2変数,3変数が何回でも偏微分可能ならば偏微分する順序は関係がない

ただし有限回しか偏微分が出来ないときは注意しなければなりません。


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・合成関数の偏導関数

xとyの2つの変数がある関数において、変数xとyがさらにほかの変数s,tの関数、

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であるとします。つまり、

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という関数があるとき、ブラックショールズ,微分積分,偏微分,偏導関数,偏微分方程式,ラウンド,2変数,3変数をそれぞれブラックショールズ,微分積分,偏微分,偏導関数,偏微分方程式,ラウンド,2変数,3変数tによって偏微分すると、

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となりますが、この2つの偏微分を実行するにはブラックショールズ,微分積分,偏微分,偏導関数,偏微分方程式,ラウンド,2変数,3変数xyブラックショールズ,微分積分,偏微分,偏導関数,偏微分方程式,ラウンド,2変数,3変数を代入して、fをすべてstで書き直してから計算するという方法をとります。
このとき、

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となります。
では実際に問題を解いてみましょう。

 

【問題】
ある2変数関数ブラックショールズ,微分積分,偏微分,偏導関数,偏微分方程式,ラウンド,2変数,3変数があったとします。
この変数ブラックショールズ,微分積分,偏微分,偏導関数,偏微分方程式,ラウンド,2変数,3変数はさらに次のような他変数によって表されるとします。

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2変数関数ブラックショールズ,微分積分,偏微分,偏導関数,偏微分方程式,ラウンド,2変数,3変数に対する偏微分、

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を導いてみましょう。

 

 

【答え】
まずsについて、構成されているそれぞれの偏微分を実行すると、

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となるので、それを式

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の右辺に代入すれば、

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今度はtについても同じように、

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ブラックショールズ,微分積分,偏微分,偏導関数,偏微分方程式,ラウンド,2変数,3変数

の右辺に代入すれば、

ブラックショールズ,微分積分,偏微分,偏導関数,偏微分方程式,ラウンド,2変数,3変数

となります。

(解終)

 

ここで、上記の問題を使い

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の式を具体的に考察してみましょう。
ブラックショールズ,微分積分,偏微分,偏導関数,偏微分方程式,ラウンド,2変数,3変数の式をsで偏微分すると、
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ここでループさせます。

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微分を行わずにこの式をちょっと変形させてみましょう。
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さらに右辺に対して微分の逆演算を施せば、

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括弧の中の式ブラックショールズ,微分積分,偏微分,偏導関数,偏微分方程式,ラウンド,2変数,3変数ブラックショールズ,微分積分,偏微分,偏導関数,偏微分方程式,ラウンド,2変数,3変数だということがわかります。
それをfと書き直せば、

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となります。
tに対しても同じ結果がでてきます。

 

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