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常微分方程式

 

 

常微分方程式

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常微分方程式−関数ブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式とその導関数ブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式と独立変数xを含む方程式をいいます。簡単にいうと独立変数の数は一つのものをいいます。
微分方程式の例)

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両側をxに対して微分します。

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これをさらに微分すると、

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といったものが微分方程式です。

 

次の円について考察してみましょう。

 

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この円に関しての方程式はブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式だったと思います。これをxで微分するとどうなるでしょうか?実際にやってみると、

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という式が出てきます。これは円の接線方向の傾きを意味しています。

【n階微分方程式の解】

微分方程式に含まれる導関数の階数(ドット数)の一番高いもの(n階)を、n階の微分方程式といいます。 微分方程式の解には一般解と特殊解というのがあります。基本的にはn階微分方程式にはn個の任意定数を含むn個の一般解があり、さらにはその任意定数Cにおいて初期条件などがついていてその条件のもとでしか求まらない解…いわゆる特殊解とよばれるものがあります。
【例題】
次の微分方程式を求め、そしてその一般解からブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式内の初期条件を満たす特殊解を導いてみましょう。

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【答え】

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これが求める一般解です。
さらにこの一般解に対して初期条件を代入し特殊解を求めます。

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なので求める特殊解は

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となります。

 

【1階微分方程式】

次の形の微分方程式を考察してみましょう。

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これを変形すると

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解き方としては、まず変数が2つあるので両辺にそれぞれを“分ける”ということをします。

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これを変数分離形といいます。

 

次にこの式の両辺をそれぞれ積分します。

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Const.というのは積分定数のことです。

 

【例題】

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まず変数分離という作業をし、それぞれを積分して行きます。

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右上図はブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式のときのブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式、つまりブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式をグラフ化したものです。ラインが複数に分かれている理由は計算によって出てきた積分定数Cの値をからの範囲で0.5刻みでプロットしているためです。

 

【問題】
次の微分方程式を解いてみましょう。

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【答え】
まず変形させます。

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次に両辺を積分します。

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両辺の対数をとって

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これが求める一般解です。

 

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