ブラックショールズモデル導出に必要な金融数学について説明したサイトです。

置換積分

 

 

置換積分


【積分の変数変換】

積分の計算というのは、主に積分の公式が使えるように変形させるという行為が非常に重要になってきます。
例えば次のような形の積分はどう行えばよいでしょうか?

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こういったものの場合、ほかのある変数で置き換える(置換)という作業をします。
上記の問題ではまず括弧の中のブラックショールズ,微分積分,積分,変数変換,置換積分に着目してそれを仮にブラックショールズ,微分積分,積分,変数変換,置換積分とおきましょう。それをx微分すると、

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となるのでこれらを元の式に代入すれば

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となります。これを普通に積分し、元に戻せば、

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となります。

 

【例題1】
次の問題を置換積分を用いて解いてみましょう。

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まずカッコの中の式を次のようにtと置いてそれをxで微分します。

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としてこれをもとの式に代入します。


tを元に戻せば、

【例題2】
次の問題を解いてみましょう。

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指数関数の乗数部分を先ほどと同じようにtに置換します。

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三角関数を使った置換積分

つぎの式を三角関数を使って解いてみましょう。

まずxを次のように変数変換します。

tan x

tで微分しますがtanは

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と表せるのでこれを商の微分、

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に当てはめて計算していくと、
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ここで三角関数公式のの式を変形してみると、

となるのでこれらを問題式に当てはめていきます。



逆写像定理により

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となるので結果は以下のようになります。

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その他、三角関数を使った置換積分の例
次に示す関数を三角関数を使った置換積分で求めてみましょう。

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今度も先ほどと同じくxをtanで置換しますが、ここでちょっと工夫して次のように置きましょう。

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これを微分します。

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これにより

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となるのでこれらを代入していきます。

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さらに次のように変換式を変形します。

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より

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よって次のようになります。

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